EDUTREEM: Знания для всех

Равномерным прямолинейным движением называют такое происходящее по прямолинейной траектории движение, при котором тело (материальная точка) за любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения. Закон равномерного прямолинейного движения: \(x( t) =x_{0} +v_{0x} t\) \(x_0\)  - координата начальной точки движения \(v_{0x}\)  - проекция скорости  \(v_x\)  на ось Ox \(t\)  - момент времени При этом проекция скорости  \(v_x\)  на ось Ox - постоянная величина:  \(v_{x}(t)=v_{0x}=const\)

Ускорение - величина, характеризующая быстроту изменения скорости. Ускорение (или мгновенное ускорение) - векторная физическая величина, равная предулу отношения изменения скорости к промежутку времени, за который это изменение произошло, при стремлении  \(\Delta t\)  к нулю (т.е. производной \(\vec v\)  по \(t\) ): \(\vec{a} =\lim _{\Delta t\rightarrow 0}\dfrac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} =\overrightarrow{v'_{t}}\) Составляющие  \(\vec a(a_x, a_y, a_z)\)  равны соответсвенно:  \(a_x=v'_x; a_y=v'_y; a_z=v'_z\) . Ускорение, как и изменение скорости, направлено в сторону вогнутости траектории и может быть разложено на две составляющие - тангенциальную - по касательной к траектории движения - и нормальную - перпендикулярно к траектории. В соответсвтвии с этим проекцию ускорения  \(\overrightarrow{a_{\tau }}\)  на касательную к траектории называют касательным , или тангенциальным ускорением , проекцию  \(a_n\)  на нормаль - норма...

Скоростью   \(\vec v\)  точки называется предел отношения перемещения  \(\Delta \vec r\)  к промежутку времени  \(\Delta t\) , в течении которого это перемещение произошло, при стремлении  \(\Delta t\)  к нулю (т.е производной \(\Delta \vec r\)  по \(t\) ) : \(\vec{v} =\lim _{\Delta t \rightarrow 0}\dfrac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} =\overrightarrow{r'_{t}}\) Составляющие вектора по осям X, Y, Z определяются анологично: \(v_x =\lim _{\Delta t \rightarrow 0}\dfrac{\Delta x}{\Delta t} =x'_t\) \(v_y =y'_t\) \(v_z =z'_t\) Определенное таким образом понятие скорости называют также мгновенной скоростью . Это определение скорости справедливо для любых видов движения - от криволинейного равномерного до прямолинейного равномерного . Закон сложения скоростей Галилея \(\vec v_2=\vec v_1+\vec v\) \(\vec v_2, \vec v_1\) - скорости тела (точки) относительно двух инерциальных систем отсчета - неподвижной системы отсчета  \(K_2\)  и системы отс...

Механическое движение - изменение положения тела относительно других тел в пространстве с течением времени. По характеру движения различают три вида движения: поступательное - это движение, при  котором все точки тела движутся одинаково и любая прямая, мысленно проведенная в теле, остается параллельна самой себе; вращательное движение, при котором все точки тела движутся по окружности; колебательное движение - движение, которое повторяется или почти повторяется. В отличие от вращательного движения колебательное происходит в двух взаимно противоположных направлениях. Тело отсчета, связанная с ним координатная система и прибор для измерения времени (часы) образуют систему отсчета . Рассмотрим две системы отсчета:  \(K\)  и  \(K'\) . Пусть  \(K\)  - система отсчета, принятая за неподвижную; \(K'\)  - движущаяся система отсчета; \(\vec U\)  - скорость системы  \(K'\)   относительно системы  \(K\) . Тогда:  \(\vec...

Комплексные числа Алгебраическая форма записи Теория Алгебраическая форма записи . Задачи Действия над комплексными числами. Упростить выражение. Комплексное сопряжение. Уравнение с комплексным числом.  Тригонометрическая форма записи Теория Тригонометрическая форма записи. Действия над числами. Задачи Записать число в тригонометрической форме. Показательная форма комплексного числа Теория Показательная форма записи. Действия над числами. Матричная алгебра Матрицы и действия над ними Теория Матрицы и действия над ними. Задачи Решение матричных уравнений. Определитель матрицы Теория Определитель матрицы. Обратная матрица Теория Обратная матрица. Ранг матрицы Теория Ранг матрицы. Системы линейных алгебраических уравнений Матричный способ решения СЛАУ Теория Матричный способ решения СЛАУ. Формулы Крамера Теория Формулы Крамера. Метод Гаусса решения СЛАУ Теория Метод Гаусса. Векто...

Кривой второго порядка называется геометриечкое место точек, которые в декартовой системе координат определяются уравнением второй степени. \(Ax^{2} +Bxy+Cy^{2} +Dx+Ey+F=0\) Эллипс Опр . Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами. \(\begin{array}{{>{\displaystyle}l}} По\ определению:\\ MF_{1} +MF_{2} =2a\\ F_{1} F_{2} =2c\\ 2a >2c,\ a >c\\ MF_{1} =\sqrt{( x+c)^{2} +y^{2}}\\ MF_{2} =\sqrt{( x-c)^{2} +y^{2}}\\ \sqrt{( x+c)^{2} +y^{2}} +\sqrt{( x-c)^{2} +y^{2}} =2a\\ \sqrt{( x+c)^{2} +y^{2}} =2a\ -\sqrt{( x-c)^{2} +y^{2}}\\ ( x+c)^{2} +y^{2} =4a^{2} -4a\sqrt{( x-c)^{2} +y^{2}} +( x-c)^{2} +y^{2}\\ ( x+c)^{2} -( x-c)^{2} =4a\left( a-\sqrt{( x-c)^{2} +y^{2}}\right)\\ 4c\cdot 2x=4a\left( a-\sqrt{( x-c)^{2} +y^{2}}\right) \ |:4\\ cx=a^{2} -a\sqrt{( x-c)^{2} +y^{2}}\\ a\sqrt{( x-c)^{2} +y^{2}} =a^{2} -cx\\ a^{2}\left(( x-c)^{2} +y^{2}\right) =...

Каноническое уравнение прямой \(\begin{array}{{>{\displaystyle}l}} M_{0}( x_{0} ;\ y_{0} ;\ z_{0})\\ \vec{q} =\{l,m,p\} \ -\ направляющий\ вектор\ прямой\\ Выпишем\ условие\ принадлежности\ производной\ точки\ M( x,y,z) \ прямой:\\ \overrightarrow{M_{0} M} \parallel \vec{q}\\ \overrightarrow{M_{0} M} =\{x-x_{0} ;\ y-y_{0} ;\ z-z_{0}\}\\ Каноническое\ уравнение\ прямой:\\ \frac{x-x_{0}}{l} =\frac{y-y_{0}}{m} =\frac{z-z_{0}}{p} \end{array}\) Параметрические уравнения прямой \(\begin{array}{{>{\displaystyle}l}} \begin{cases} x=x_{0} +lt\\ y=y_{0} +mt\\ z=z_{0} +pt \end{cases}\\ \vec{q} =\{l,m,p\} \ -\ направляющий\ вектор\\ M_{0}( x_{0} ;y_{0} ;z_{0}) -точка\ на\ прямой \end{array}\) Уравнение прямой, проходящей через две точки \(\begin{array}{{>{\displaystyle}l}} M_{1}( x_{1} ;y_{1} ;z_{1}) ,M_{2}( x_{2} ;y_{2} ;z_{2})\\ \frac{x-x_{1}}{x_{2} -x_{1}} =\frac{y-y_{1}}{y_{2} -y_{1}} =\frac{z-z_{1}}{z_{2} -z_{1}} \end{array}\) Прямая как пересечение двух плоскостей ...

Общее уравнение плоскости \(\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} Рассмотрим\ точку\ на\ плоскости\ M_{0}( x_{0} ;y_{0} ;z_{0}) \ на\ плосткости,\\ пусть\ вектор\ \vec{n} =\{A;B;C\} -\ вектор\ нормали\ к\ этой\ плоскости.\\ Выпишем\ условие\ принадлежности\ произвольной\ точки\ M( x_{1} ;y_{1} ;z_{1})\\ этой\ плоскости.\\ \boldsymbol{Условие}\\ \overrightarrow{M_{0} M} =\{x-x_{0} ;y-y_{0} ;z-z_{0}\}\\ \vec{n} \perp \overrightarrow{M_{0} M} \ \Leftrightarrow \ \vec{n} \cdot \overrightarrow{M_{0} M} =0\ \Leftrightarrow \\ \boldsymbol{A( x-x_{0}) +B( y-y_{0}) +C( z-z_{0}) =0}\\ Ax+By+Cz-Ax_{0} -By_{0} -Cz_{0} =0\\ D=-Ax_{0} -By_{0} -Cz_{0}\\ \boldsymbol{Ax+By+Cz+D=0} \end{array}\) Уравнение плоскости в отрезках \(\frac{x}{a} +\frac{y}{b} +\frac{z}{c} =1\) Уравнение плоскости по трем точкам \(\begin{array}{{>{\displaystyle}l}} Пусть\ M_{1}( x_{1} ;y_{1} ;z_{1}) ,\ M_{2}( x_{2} ;y_{2} ;z_{2}) ,M_{2}( x_{3} ;y_{3} ;z_{3}) .\\ Выберем\ M( x,y,z) \ -\ произвольную\ ...

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} CK\ -\ бисстектриса\ \vartriangle ABC.\\ Свойство\ биссектриссы:\ \frac{KB}{BC} =\frac{KA}{AC} \ \Leftrightarrow \frac{KA}{KB} =\frac{AC}{BC} =\lambda \\ \lambda \ -\ коэффицент\ деления\ отрезков\ в\ заданном\ отношении\\ K( x_{K} ;y_{K}) \ :\\ x_{K} =\frac{x_{A} +\lambda x_{B}}{1+\lambda }\\ y_{K} =\frac{y_{A} +\lambda y_{B}}{1+\lambda }\\ Уравнение\ CK:\ \frac{x-x_{C}}{x_{K} -x_{C}} =\frac{y-y_{C}}{y_{K} -y_{C}} \end{array}$

Общее уравнение прямой \(\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} Рассмотрим\ точку\ на\ прямой\ M( x_{0} ;y_{0}) \ и\ вектор\ нормали\ \vec{n} =\{A;B\} .\\ Возьмем\ M( x;y) .\ Выпишем\ условие\ принаждлежности\ этой\ точки\\ данной\ прямой:\\ \overrightarrow{M_{0} M} \perp \vec{n} \Leftrightarrow \vec{n} \cdot \overrightarrow{M_{0} M} =0,\\ \overrightarrow{M_{0} M} =\{x-x_{0} ;y-y_{0}\}\\ A\cdot ( x-x_{0}) +B( y-y_{0}) =0\\ Ax+By-Ax_{0} -By_{0} =0\ \ \\ -Ax_{0} -By_{0} =C\\ Ax+By+C=0 \end{array}\) Каноническое уравнение прямой \(\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} Дана\ точка\ на\ прямой\ M_{0}( x_{0} ;y_{0}) \ и\ направляющий\ вектор\ прямой\ \vec{q} =\{l,m\} .\\ Условие\ принадлежности\ M_{0}( x_{0} ;y_{0}) \ прямой:\\ M_{0}( x_{0} ;y_{0}) \parallel \vec{q} \Leftrightarrow \frac{x-x_{0}}{l} =\frac{y-y_{0}}{m} \ ( каноническое\ уравнение\ прямой) \end{array}\) Параметрическое уравнение прямой Вывод уравнений \(\displaystyle \begin{array}{{...

\(\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} Составить\ уравнение\ прямой,\ проходящей\ через\ т.M( 4;5) \ и\ перпендикулярной\ данной\\ прямой:\\ \frac{x-2}{6} =\frac{y+1}{7}\\ Решение\\ Направляющий\ вектор:\ \vec{q} =\{6,7\} \ ( перпендикулярен\ искомой\ прямой\\ и\ является\ для\ нее\ вектором\ нормали)\\ \vec{n} =\{A;B\} =\{6;7\}\\ Вид\ искомой\ прямой:\\ \ A\cdot ( x-x_{0}) +B( y-y_{0}) =0\\ 6\cdot ( x-4) +7( y-5) =0\\ 6x-24+7y-35=0\\ 6x+7y-59=0 \end{array}\)

\(\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} Составить\ уравнение\ прямой,\ проходящей\ через\ т.\ M( 2,3) \ и\ параллельную\ прямой\ \\ 5x+6y-8=0.\\ Решение\\ Вектор\ нормали:\ \vec{n} =\{5;6\} .\\ Вид\ искомой\ прямой:\ A\cdot ( x-x_{0}) +B( y-y_{0}) =0\\ 5( x-2) +6( y-3) =0\\ 5x-10-6y-18=0\\ 5x+6y-28=0 \end{array}\)

Найти длину высоты AH треугольной пирамиды ABCD, где А(2;-4;5), B(-1;-3;4), C(5;5;-1), D(1;-2;2). Решение \(\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} V=\frac{1}{6} |\overrightarrow{BC}\overrightarrow{BD}\overrightarrow{BA} |\\ V=\frac{1}{3} S_{BDC} \cdot AH=\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot |\overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{BD} |\cdot \overrightarrow{AH}\\ Высота\ AH=\frac{|\overrightarrow{BC}\overrightarrow{BD}\overrightarrow{BA} |}{|\overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{BD} |}\\ \overrightarrow{BC} =\{-6;\ -8;\ 5\}\\ \overrightarrow{BD} =\{-2;\ -1;\ 2\}\\ \overrightarrow{BA} =\{-3;\ 1;\ -1\}\\ \overrightarrow{BC}\overrightarrow{BD}\overrightarrow{BA} =\begin{vmatrix} -6 & -8 & 5\\ -2 & -1 & 2\\ -3 & 1 & -1 \end{vmatrix} =45\\ \overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{BD} =\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ -6 & -8 & 5\\ -2 & -1 & 2 \end{vmatrix} =\vec{i}\begin{vmatrix} -8 & 5\\ -1 & ...

\(\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} Смешаннным\ произведением\ векторов\ \vec{a} ,\vec{b} ,\ \vec{c} \ называется\ число,\ вычисленное\ по\ формуле:\\ \ \vec{a} \ \cdot \left(\vec{b} \times \vec{c}\right) =\left(\vec{a} \times \vec{b}\right) \cdot \vec{c} =\vec{a} \ \vec{b}\vec{c} . \end{array}\) \(\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} Вычисление:\\ \vec{a} \ \vec{b}\vec{c} =\begin{vmatrix} x_{1} & y_{1} & z_{1}\\ x_{2} & y_{2} & z_{2}\\ x_{3} & y_{3} & z_{3} \end{vmatrix} \end{array}\) Геометрическое применение \(\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} Объем\ параллелепипеда:\ V=|\vec{a} \ \vec{b}\vec{c} |.\\ Объем\ пирамиды:\ V=\frac{1}{6} |\vec{a} \ \vec{b}\vec{c} |. \end{array}\)

\(\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} Векторным\ произведением\ \vec{a} \ и\ \vec{b} \ \ называется\ вектор\ \vec{с} ,\ такой\ что\ \\ \ \vec{с} \perp \vec{a} ,\ \ \vec{с} \perp \vec{b}\\ |\vec{с} |=|\vec{a} |\cdot |\vec{b} |\cdot \cos \varphi \\ Вектор\ \vec{с} \ направлен\ в\ сторону\ движения\ винта\ при\ вращении\\ вектора\ \vec{a} \ \ к\ вектору\ \vec{b} .\ \ \end{array}\) Геометрическое применение \(\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} Площадь\ параллелограмма,\ построенного\ на\ векторах\ \vec{a} \ и\ \vec{b} :\ S=|\vec{a} \ \times \vec{b} |.\\ Площадь\ треугольника,\ построенного\ на\ векторах\ \vec{a} \ и\ \vec{b} :\ S=\dfrac{1}{2} |\vec{a} \ \times \vec{b} |. \end{array}\) Алгебраические свойства \(\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} \vec{a} \ \times \vec{b} =-\vec{b} \times \vec{a}\\ \left(\vec{k}\vec{a}\right) \times \vec{b} =\vec{k}\left(\vec{a} \ \times \vec{b}\right)\\ \vec{a} \ \times \vec{a} \ =0 \end{array}\...

Вектор - напрявленный отрезок. \(​​\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} \overrightarrow{AB} =\vec{a}\\ Координаты\ вектора:\vec{a} \ =\{a_{x} ;a_{y} ;a_{z}\}\\ \overrightarrow{AB} =\{x_{B} -x_{A} ;y_{A} -y_{B} ;z_{A} -z_{B}\}\\ \vec{a} =a_{x} \cdot \vec{i} +a_{y} \cdot \vec{j} +a_{z} \cdot \vec{k}\\ Длина\ вектора:\ \\ |\vec{a} |=a^{2}_{x} +a^{2}_{y} +a^{2}_{z}\\ Векторы\ \vec{a} \ и\ \vec{b} \ коллинеарны,\ если\ они\ лежат\ на\ одной\ или\ параллельных\ прямых.\\ Условие\ компланарности:\\ Пусть\ \\ \vec{a} \ =\{a_{x} ;a_{y} ;a_{z}\}\\ \vec{b} \ =\{b_{x} ;b_{y} ;b_{z}\}\\ \vec{a} \ \parallel \vec{b} \ \ \Leftrightarrow \dfrac{a_{x}}{b_{x}} =\dfrac{a_{y}}{b_{y}} =\dfrac{a_{z}}{b_{z}}\\ Векторы\ \vec{a} \ ,\vec{b} \ ,\vec{с} \ компланарны,\ если\ они\ лежат\ в\ одной\ плоскости.\\ Условие\ компланарности:\\ Пусть\ \\ \vec{a} \ =\{a_{x} ;a_{y} ;a_{z}\}\\ \vec{b} \ =\{b_{x} ;b_{y} ;b_{z}\}\\ \vec{с} \ =\{с_{x} ;с_{y} ;с_{z}\}\\ \begin{vmatrix} a_{x} & a_{y} & a...

Элементарные преобразования: Умножение строки на число, отличное от 0. Прибавление к элементом одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на одно и то же число. Элементарными преобразованиями приводят расширенную матрицу системы к трапецевидной форме: \(\displaystyle \begin{pmatrix} С_{11} & С_{12} & ... & С_{1r} & ... & C_{1n} & d_{1}\\ 0 & С_{22} & ... & С_{2r} & ... & C_{2n} & d_{2}\\ 0 & 0 & ... & ... & ... & .. & ...\\ 0 & 0 & 0 & C_{rr} & ... & C_{rn} & d_{r}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & ... & ... & ...\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & d_{n} \end{pmatrix}\) Теорема Кронекера-Капелли Система линейных уравнений совместна тогда и только тогла, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу ее основной матрицы. rg(A|B)=rg(A) Следствия (о числе решений) Пусть СЛАУ совместна, т.е. rg(A|B)=rg(A) тогда 1) Если n...

Рассмотрим систему уравнений с n неизветными: \(\displaystyle \begin{cases} a_{11} x_{1} +a_{12} x_{2} +a_{31} x_{3} +...+a_{1n} x_{n} =b_{1}\\ a_{21} x_{1} +a_{22} x_{2} +a_{21} x_{3} +...+a_{2n} x_{n} =b_{2}\\ ...\\ a_{m1} x_{1} +a_{m2} x_{2} +a_{m1} x_{3} +...+a_{mn} x_{n} =b_{n} \end{cases}\) $\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} & b_{1}\\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} & b_{2}\\ ... & ... & ... & ... & ...\\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} & b_{n} \end{pmatrix}\\ A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n}\\ ... & ... & ... & ...\\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \end{pmatrix}\\ B=\begin{pmatrix} b_{1}\\ b_{2}\\ ...\\ b_{n} \end{pmatrix}\\ X=\begin{pmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ ...\\ x_{n} \end{pmatrix}\\ A-основная\ матрица\ системы\\ B-столбцы\ правых\ частей\\ X-вектор\ не...

Рассмотрим систему m уравнений с n неизвестными. \(\displaystyle \begin{cases} a_{11} x_{1} +a_{12} x_{2} +a_{31} x_{3} +...+a_{1n} x_{n} =b_{1}\\ a_{21} x_{1} +a_{22} x_{2} +a_{21} x_{3} +...+a_{2n} x_{n} =b_{2}\\ ...\\ a_{m1} x_{1} +a_{m2} x_{2} +a_{m1} x_{3} +...+a_{mn} x_{n} =b_{n} \end{cases}\) Запишем расширенную матрицу системы урвнений: $\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} & b_{1}\\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} & b_{2}\\ ... & ... & ... & ... & ...\\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} & b_{n} \end{pmatrix}\\ A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n}\\ ... & ... & ... & ...\\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \end{pmatrix}\\ B=\begin{pmatrix} b_{1}\\ b_{2}\\ ...\\ b_{n} \end{pmatrix}\\ X=\begin{pmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ ...\\ x_{n} \end{pmatrix}\\ A-основная\ матрица...

Опр.  Минором матрицы k-ого порядка называется определитель, элементы которого находятся на пересечении любых k строк и любых k столбцов данной матрицы. Пример \(\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} A=\begin{pmatrix} 5 & -3 & 2 & 6\\ 4 & 8 & 1 & 3\\ 9 & -6 & -4 & -1 \end{pmatrix}\\ M_{2} =\begin{vmatrix} -3 & 6\\ -6 & -1 \end{vmatrix} =39 \end{array}\) Опр.  Рангом матрицы называется наименьший порядок, отличного от нуля, минора этой матрицы. Вычисление ранга матрицы Способ 1.Метод окаймления Правило: При вычислении ранга матрицы переходят от миноров меньших порядков к минорам больших порядков. При этом, если уже найден отличный от нуля минор m k-ого порядк, то вычисляют лишь миноры k+1, окаймляющие, т.е. содержащие внутри себя минор k-ого порядка. Если все миноры k+1 порядка, окаймляющие ненулевой минор k-ого порядка, будут равны 0, то ранг матрицы равен k (rg(A)=k). Пример вычисления ранга матрицы ...

Опр.  Единичной матрицей называется квадратная матрица, на главной диагонали которой стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю.  \(\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} E=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\\ E=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{array}\) Свойства : \(\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} 1.\ detE=1\\ 2.\ A\cdot E=A \end{array}\) Опр . Матрица  \(A^{-1}\)  называется обратной для матрицы  \(A\) , если их произведение равно единичной матрице. \(A^{-1} \cdot A=E\) Утверждение Обратная матрица имеет следующие элементы: \(\displaystyle A^{-1} =\begin{pmatrix} \frac{A_{11}}{\Delta } & \frac{A_{21}}{\Delta } & ...\ & \frac{A_{n1}}{\Delta }\\ \frac{A_{12}}{\Delta } & \frac{A_{22}}{\Delta } & ...\ & \frac{A_{n1}}{\Delta }\\ ...\ & ...\ & ...\ & ...\ \\ \frac{A_{1n}}{\Delta } & \frac...

Рассмотрим систему уравнений: $\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} \begin{cases} a_{11} x+a_{12} y=b_{1}\\ a_{21} x+a_{22} y=b_{2} \end{cases}\\ x=\dfrac{a_{22} b_{1} -a_{12} b_{2}}{a_{11} a_{22} -a_{21} a_{12}}\\ y=\dfrac{a_{11} b_{2} -a_{21} b_{1}}{a_{11} a_{22} -a_{21} a_{12}} \end{array}$ Опр. Определитель 2 порядка $\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} a_{11} a_{22} -a_{21} a_{12} =\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}\\ x=\dfrac{\begin{vmatrix} b_{1} & a_{12}\\ b_{2} & a_{22} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}}\\ y=\dfrac{\begin{vmatrix} a_{11} & b_{1}\\ a_{21} & b_{2} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}} \end{array}$ Опр.  Определитель 3 порядка $\displaystyle \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatr...

Опр. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, имеющая m строк и n столбцов. $\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n}\\ ... & ... & ... & ...\\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \end{pmatrix}\\ A_{m\times n} =( a_{ij}) ,\ i=1,...,m,\ j=1,...,n \end{array}$ Основные действия над матрицами Транспонирование При транспонировании строчки меняются местами со столбцами. Пример $\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} A=\begin{pmatrix} 5 & 2 & 4\\ 3 & 6 & 1 \end{pmatrix}\\ A^{T} =\begin{pmatrix} 5 & 3\\ 2 & 6\\ 4 & 1 \end{pmatrix} \end{array}$ Умножение матрицы на число При умножении матрицы на число каждый элемент матрицы умножается на это число. $\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} A=\begin{pmatrix} 3 & 7\\ 2 & 1 \end{pmatrix}\\ A\cdot 5=\begin{pmatrix} 3 & 7\\ 2 ...

Задача Решить матричное уравнение $\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} 3\cdot \begin{pmatrix} 2 & -4\\ 6 & 0\\ -1 & 3 \end{pmatrix} +2x=\begin{pmatrix} 0 & --2 & 4\\ 3 & 1 & 0 \end{pmatrix}^{T} -2\cdot \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 0 & 1\\ 2 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} 6 & -12\\ 18 & 0\\ -3 & 9 \end{pmatrix} +2x=\begin{pmatrix} 0 & 3\\ -2 & 1\\ 4 & 0 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 2 & 6\\ 0 & 2\\ 4 & 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -2 & -3\\ -2 & -1\\ 0 & -1 \end{pmatrix}\\ -2x=\begin{pmatrix} 6 & -12\\ 18 & 0\\ -3 & 9 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} -2 & -3\\ -2 & -1\\ 0 & -1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 8 & -9\\ 20 & 1\\ -3 & 10 \end{pmatrix}\\ x=-\begin{pmatrix} 4 & -4,5\\ 10 & 0,5\\ -1,5 & 5 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -4 & 4,5\\ -10 & -0,5\\ 1,5 & -5 \end{pmatrix} \end{array}$

Умножение $\displaystyle z_{1} \cdot z_{2} =|r_{1} \cdot r_{2} |e^{i( \varphi _{1} +\varphi _{2})}$ Деление $\displaystyle \dfrac{z_{1}}{z_{2}} =\begin{vmatrix} \dfrac{z_{1}}{z_{2}} \end{vmatrix} e^{i( \varphi _{1} -\varphi _{2})}$ Следствие: $\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} \begin{matrix} e^{i\varphi } =\cos \varphi +i\sin \varphi \\ e^{i\varphi } =\cos( -\varphi ) +i\sin( -\varphi ) \end{matrix} \Longrightarrow \cos \varphi -i\sin \varphi \\ \cos \varphi =\dfrac{e^{i\varphi } +e^{-i\varphi }}{2}\\ \sin \varphi =\dfrac{e^{i\varphi } -e^{-i\varphi }}{2} \end{array}$

Формула Эйлера $\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} e^{i\varphi } =\cos \varphi +i\sin \varphi \\ Тогда\ z=z(\cos \varphi +i\sin \varphi ) =r\cdot e^{i\varphi }\\ z=r\cdot e^{i\varphi } \end{array}$

$\displaystyle  \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} z_{1} =r_{1}(\cos \varphi _{1} +i\cdot \sin \varphi _{1})\\ z_{1} =r_{2}(\cos \varphi _{2} +i\cdot \sin \varphi _{2}) \end{array}$ Умножение $\displaystyle  \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} z_{1} z_{2} =r_{1} r_{2}(\cos \varphi _{1} +i\cdot \sin \varphi _{1})(\cos \varphi _{2} +i\cdot \sin \varphi _{2}) =\\ =r_{1} r_{2}(\cos \varphi _{1}\cos \varphi _{2} +i\sin \varphi _{1}\cos \varphi _{2} +i\cos \varphi _{1}\sin \varphi _{2} +i^{2}\sin \varphi _{1}\sin \varphi _{2} =\\ =r_{1} r_{2}(\cos \varphi _{1}\cos \varphi _{2} -\sin \varphi _{1}\sin \varphi _{2} +i(\sin \varphi _{1}\cos \varphi _{2} +\cos \varphi _{1}\sin \varphi _{2})) =\\ =r_{1} r_{2}(\cos( \varphi _{1} +\varphi _{2}) +i\sin( \varphi _{1} +\varphi _{2})) \end{array}$ Деление $\displaystyle z_{1} :z_{2} =\dfrac{z_{1}}{z_{2}}(\cos( \varphi _{1} -\varphi _{2}) +i\sin( \varphi _{1} -\varphi _{2}))$ Пример Дано:  $\displaystyle  \beg...

Задача Записать число в тригонометрической форме $\displaystyle z=1+i\sqrt{3}$. Решение $\displaystyle  \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} a=1\ \ \ b=\sqrt{3}\\ r=\sqrt{1+3} =2\\ \varphi =\arctan\left(\dfrac{\sqrt{3}}{1}\right) =\dfrac{\pi }{3}\\ z=2\left(\cos\left(\dfrac{\pi }{3}\right) +i\cdot \sin\dfrac{\pi }{3}\right) \end{array}$

Рассмотрим  \(z=a+bi\) . r - модуль комплексного числа,  \(\varphi\)-аргумент комплексного числа. \(\cos \varphi \ =\dfrac{a}{r} \ \Longrightarrow a=r\cdotp \cos \varphi \\ \sin \varphi \ =\dfrac{b}{r} \ \Longrightarrow b=r\cdotp \sin \varphi \\ r=a+bi=r\cdotp \cos \varphi +i\cdot \sin \varphi =r(\cos \varphi +i\cdot \sin \varphi )\\ z=r(\cos \varphi +i\cdot \sin \varphi ) ,\ где\ r=\sqrt{a^{2} +b^{2}} ,\ \varphi =\arctan\left(\dfrac{b}{a}\right)\)

Задача Решить уравнение \( z^{2} -4z+13=0\) Решение \( z^{2} -4z+13=0\\ D=16-4\cdot 13=-36=( 6i)^{2}\\ z_{1,2} =\frac{4\pm 6i}{2} =2\pm 3i\\ z_{1} =2+3i\\ z_{2} =2-3i\)

Комплексное сопряжение - операция замены знака мнимой части комплексного числа. Так, например, сопряжённым к числу \(z=x+yi\) будет являться число \(z=x-yi\) Обозначение Если мы хотим взять комплесное сопряжение для какого-либо числа, то письменно это часто обозначают чертой над этим числом. Задача.  Найдите такие пары (x, y), которые удовлетворяют уравнению  \( 2x+y+ixy=\overline{3+x+2i}\)  . Решение \( 2x+y+ixy=3+x+2i\\ \begin{cases} Re:2x+y=3+x\\ Im:ixy=2i \end{cases}\\ \begin{cases} x+y=3\\ xy=2 \end{cases}\\ x_{1} =1,\ y_{1} =2\\ x_{2} =2,\ y_{2} =1\) Ответ: (1,2), (2,1).

Упростите выражение: \(z=5i^{125} +3i^{124} +2i^{75} +6i^{128}\) Решение \(z=5i^{125} +3i^{124} +2i^{75} +6i^{128} =\\ =5\cdot \left( i^{2}\right)^{62} \cdot i+3\cdot \left( i^{2}\right)^{62} +2\cdot \left( i^{2}\right)^{37} \cdot i+6\cdot \left( i^{2}\right)^{64} =\\ =5\cdot ( -1)^{62} \cdot i+3\cdot ( -1)^{62} +2\cdot ( -1)^{37} \cdot i+6\cdot ( -1)^{64} =\\ =5i+3-2i+6=9+3i\)

Powered by CKEEditor and MathJax .

Комплексные числа Алгебраическая форма записи Рассмотрим уравнения вида: \(z^{2} =-1\)    \(z_{1,2} =\pm \sqrt{-1} =\pm i\), где i-мнимая единица \( i^{2} =-1 \). Пример \(z^{2} +4z+5=0\\ D=-4\\ z_{1,2} =\frac{-4\pm \sqrt{-4}}{2} =\frac{-4\pm 2i}{2} =-2\pm i\) Определение. Число вида \(z=a+bi\) имеет алгебраическую форму записи. a - вещественная часть (ReZ), b - мнимая часть (ImZ). Комплексная плоскость Определение. Числа \(z=a+bi\) и \(\overline{z} =a-bi\) называются комплексно сопряженными . Свойство. \(z\cdot \overline{z} =( a+bi)( a-bi) =a^{2} -b^{2} i^{2} =a^{2} +b^{2}\) Пример \(z^{2} +6z+13=0\\D=6^{2} -4\cdot 13=-16\\z_{1,2} =\frac{-6\pm \sqrt{-16}}{2} =\frac{-6\pm 4i}{2} =-3\pm 2i\) Действия над комплексными числами в алгебраической форме Пусть дано 2 числа: \(z_{1} =a+bi\\ z_{2} =c+di\) Сложение \(z_{1} +z_{2} \ =a+\ c+( b+d) i\) Вычитание \(z_{1} -z_{2} \ =a-\ c+( b-d) i\) Умножение \(z_{1} \cdot z_{2} =( a+bi) \cdot ( c+...

Имя числительное Имя числительное - часть речи, объединяющая слова, которые обозначают или отвлечённое число (два плюс три - пять), или количество предметов при счёте (два ученика, три книжки), или порядок предметов при счёте ( четвёртый этаж).  Порядок разбора имен числительных 1. Часть речи. 2. Начальная форма (именительный падеж, для порядковых - мужской род). 3. Постоянные признаки: а) лексико-грамматический разряд Количественное Обозначают: целое число ( четыре ) дробное ( три шестых ) собирательное - количество предметов как совокупность  ( двое, оба, обе, семеро ) Порядковое Указывают на порядок при счете ( пятидесятый, двести семьдесят пятый ) б) по структуре: простое ( два, второй ) сложное ( пятьдесят, двухсотый ) составное ( двадцать пять, тридцать седьмой ). в) особенности склонения Склонение количественных числительных Количественные числительные обозначают количество и отвечают на вопрос С...

Имя прилагательное Порядок разбора имен прилагательных 1. Часть речи 2. Начальная форма ( именительный падеж, единственное число, мужской род ). 3. Постоянные признаки: разряд по значению. Качественное Указывают непосредственное на признак предмета: большой, красивый, легкий . Имеют две формы: полную (красивый вид) и краткую(вид красив) . Имеют две степени сравнения: сравнительную( более высокий ) и превосходную( высочайший ), которые могут быть простыми( выше ) и составными( самый высокий, выше всех ). Относительное Указывают на признак через отношение предмета к другим предметам: газовая плита, кирпичный дом. Притяжательное Указывают на принадлежность: мамина сестра, медвежья берлога. 4. Непостоянные признаки: а) род  (зависит от существительного) ; б) число  (зависит от существительного) ; в) падеж  (зависит от существительного) ; г) у качественных: степень сравнения ( сравнительная, превосходная ) д) у качественных: по...