Рассмотрим систему уравнений:
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} \begin{cases} a_{11} x+a_{12} y=b_{1}\\ a_{21} x+a_{22} y=b_{2} \end{cases}\\ x=\dfrac{a_{22} b_{1} -a_{12} b_{2}}{a_{11} a_{22} -a_{21} a_{12}}\\ y=\dfrac{a_{11} b_{2} -a_{21} b_{1}}{a_{11} a_{22} -a_{21} a_{12}} \end{array}$
Опр. Определитель 2 порядка
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} a_{11} a_{22} -a_{21} a_{12} =\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}\\ x=\dfrac{\begin{vmatrix} b_{1} & a_{12}\\ b_{2} & a_{22} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}}\\ y=\dfrac{\begin{vmatrix} a_{11} & b_{1}\\ a_{21} & b_{2} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}} \end{array}$
Опр. Определитель 3 порядка
$\displaystyle \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} =a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33} +a_{12} \cdot a_{23} \cdot a_{31} +a_{21} \cdot a_{32} \cdot a_{13} -a_{13} \cdot a_{22} \cdot a_{31} -a_{23} \cdot a_{32} \cdot a_{11} -a_{12} \cdot a_{21} \cdot a_{33}$
Примеры
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} \begin{vmatrix} 5 & 9\\ 3 & 2 \end{vmatrix} =5\cdot 2-9\cdot 3=-17\\ \begin{vmatrix} 5 & 4 & -2\\ -1 & 2 & 0\\ 3 & -5 & 7 \end{vmatrix} =5\cdot 2\cdot 7+4\cdot 0\cdot 3+( -2) \cdot ( -1) \cdot ( -5) -( -2) \cdot 2\cdot 3-0\cdot ( -5) \cdot 5-4\cdot ( -1) \cdot 7=100 \end{array}$
Опр. Минором $\displaystyle M_{ij}$ элемента $\displaystyle a_{ij}$ называется определитель, получаемый из данного вычеркиванием i-строки и j-столбца.
Опр. Алгебраическим дополнением $\displaystyle A_{ij}$ элемента $\displaystyle a_{ij}$ называется число, которое находится по формуле: $\displaystyle A_{ij} =( -1)^{i+j} M_{ij}$.
Пример
Найти $\displaystyle M_{32}$ и $\displaystyle A_{32}$.
$\displaystyle \begin{vmatrix} 4 & 5 & 2\\ 3 & 7 & -6\\ 1 & -2 & 8 \end{vmatrix}$
Решение
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} M_{32} =\begin{vmatrix} 4 & 2\\ 3 & -6 \end{vmatrix} =-24-6=-30\\ M_{32} =( -1)^{3+2} \cdot ( -30) =30 \end{array}$
Формула разложения определителя по i-той строке
(сумма произведения элементов i-ой строки на их алгебраическое дополнения)
$\displaystyle \Delta =detA=\sum ^{n}_{j=1} a_{ij} \cdot A_{ij}$
Формула разложения определителя по j-ому столбцу
(сумма произведения элементов j-ого столбца на их алгебраическое дополнения)
$\displaystyle \Delta =detA=\sum ^{n}_{i=1} a_{ij} \cdot A_{ij}$
Примеры
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} \begin{vmatrix} 5 & 4 & -2\\ -1 & 2 & 0\\ 3 & -5 & 7 \end{vmatrix} =( -1) \cdot ( -1)^{2+1} \cdot \begin{vmatrix} 4 & -2\\ -5 & 7 \end{vmatrix} +2\cdot ( -1)^{2+2} \cdot \begin{vmatrix} 5 & -2\\ 3 & 7 \end{vmatrix} +0=\\ =( -1) \cdot ( -1) \cdot 18+2\cdot 41=18+82=100\\ \begin{vmatrix} 7 & 2 & 5 & 4\\ 3 & 7 & 3 & 5\\ 6 & 5 & 4 & 6\\ 7 & 3 & 5 & 5 \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} 1 & -3 & 1 & -2\\ 3 & 7 & 3 & 5\\ 6 & 5 & 4 & 6\\ 7 & 3 & 5 & 5 \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} 1 & -3 & 1 & -2\\ 0 & 16 & 0 & 11\\ 0 & 13 & -8 & 18\\ 0 & 24 & -2 & 19 \end{vmatrix} =( -1) \cdot ( -1)^{1+1} \cdot \begin{vmatrix} 16 & 0 & 11\\ 23 & -2 & 18\\ 24 & -2 & 19 \end{vmatrix} =\\ =\begin{vmatrix} 16 & 0 & 11\\ 23 & -2 & 18\\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} =( -2) \cdot ( -1)^{22} \cdot \begin{vmatrix} 16 & 11\\ 1 & 1 \end{vmatrix} =5\cdot ( -2) =-10 \end{array}$
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} \begin{cases} a_{11} x+a_{12} y=b_{1}\\ a_{21} x+a_{22} y=b_{2} \end{cases}\\ x=\dfrac{a_{22} b_{1} -a_{12} b_{2}}{a_{11} a_{22} -a_{21} a_{12}}\\ y=\dfrac{a_{11} b_{2} -a_{21} b_{1}}{a_{11} a_{22} -a_{21} a_{12}} \end{array}$
Опр. Определитель 2 порядка
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} a_{11} a_{22} -a_{21} a_{12} =\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}\\ x=\dfrac{\begin{vmatrix} b_{1} & a_{12}\\ b_{2} & a_{22} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}}\\ y=\dfrac{\begin{vmatrix} a_{11} & b_{1}\\ a_{21} & b_{2} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}} \end{array}$
Опр. Определитель 3 порядка
$\displaystyle \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} =a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33} +a_{12} \cdot a_{23} \cdot a_{31} +a_{21} \cdot a_{32} \cdot a_{13} -a_{13} \cdot a_{22} \cdot a_{31} -a_{23} \cdot a_{32} \cdot a_{11} -a_{12} \cdot a_{21} \cdot a_{33}$
Примеры
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} \begin{vmatrix} 5 & 9\\ 3 & 2 \end{vmatrix} =5\cdot 2-9\cdot 3=-17\\ \begin{vmatrix} 5 & 4 & -2\\ -1 & 2 & 0\\ 3 & -5 & 7 \end{vmatrix} =5\cdot 2\cdot 7+4\cdot 0\cdot 3+( -2) \cdot ( -1) \cdot ( -5) -( -2) \cdot 2\cdot 3-0\cdot ( -5) \cdot 5-4\cdot ( -1) \cdot 7=100 \end{array}$
Свойства определителя
1. При транспонировании величина определителя не меняется.
2. При перестановке строк или столбцов определитель меняет знак.
3. Если определитель имеет две пропорциональные строки или столбца, то он равен 0.
4. Общий множитель элементов строки или столбца можно выносить за знак определителя.
Определители высших порядков
Рассмотрим определитель n-ого порядка
\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & ... & a_{1j} & ... & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & ... & a_{2j} & ... & a_{2n}\\
... & ... & ... & ... & ... & ...\\
a_{i1} & a_{i2} & ... & a_{ij} & ... & a_{in}\\
... & ... & ... & ... & ... & ...\\
a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mj} & ... & a_{mn}
\end{vmatrix}
\end{equation*}
Опр. Минором $\displaystyle M_{ij}$ элемента $\displaystyle a_{ij}$ называется определитель, получаемый из данного вычеркиванием i-строки и j-столбца.
Опр. Алгебраическим дополнением $\displaystyle A_{ij}$ элемента $\displaystyle a_{ij}$ называется число, которое находится по формуле: $\displaystyle A_{ij} =( -1)^{i+j} M_{ij}$.
Пример
Найти $\displaystyle M_{32}$ и $\displaystyle A_{32}$.
$\displaystyle \begin{vmatrix} 4 & 5 & 2\\ 3 & 7 & -6\\ 1 & -2 & 8 \end{vmatrix}$
Решение
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} M_{32} =\begin{vmatrix} 4 & 2\\ 3 & -6 \end{vmatrix} =-24-6=-30\\ M_{32} =( -1)^{3+2} \cdot ( -30) =30 \end{array}$
Формула разложения определителя по i-той строке
(сумма произведения элементов i-ой строки на их алгебраическое дополнения)
$\displaystyle \Delta =detA=\sum ^{n}_{j=1} a_{ij} \cdot A_{ij}$
Формула разложения определителя по j-ому столбцу
(сумма произведения элементов j-ого столбца на их алгебраическое дополнения)
$\displaystyle \Delta =detA=\sum ^{n}_{i=1} a_{ij} \cdot A_{ij}$
Примеры
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} \begin{vmatrix} 5 & 4 & -2\\ -1 & 2 & 0\\ 3 & -5 & 7 \end{vmatrix} =( -1) \cdot ( -1)^{2+1} \cdot \begin{vmatrix} 4 & -2\\ -5 & 7 \end{vmatrix} +2\cdot ( -1)^{2+2} \cdot \begin{vmatrix} 5 & -2\\ 3 & 7 \end{vmatrix} +0=\\ =( -1) \cdot ( -1) \cdot 18+2\cdot 41=18+82=100\\ \begin{vmatrix} 7 & 2 & 5 & 4\\ 3 & 7 & 3 & 5\\ 6 & 5 & 4 & 6\\ 7 & 3 & 5 & 5 \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} 1 & -3 & 1 & -2\\ 3 & 7 & 3 & 5\\ 6 & 5 & 4 & 6\\ 7 & 3 & 5 & 5 \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} 1 & -3 & 1 & -2\\ 0 & 16 & 0 & 11\\ 0 & 13 & -8 & 18\\ 0 & 24 & -2 & 19 \end{vmatrix} =( -1) \cdot ( -1)^{1+1} \cdot \begin{vmatrix} 16 & 0 & 11\\ 23 & -2 & 18\\ 24 & -2 & 19 \end{vmatrix} =\\ =\begin{vmatrix} 16 & 0 & 11\\ 23 & -2 & 18\\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} =( -2) \cdot ( -1)^{22} \cdot \begin{vmatrix} 16 & 11\\ 1 & 1 \end{vmatrix} =5\cdot ( -2) =-10 \end{array}$
Комментарии
Отправить комментарий