Кривые второго порядка

Кривой второго порядка называется геометриечкое место точек, которые в декартовой системе координат определяются уравнением второй степени.
\(Ax^{2} +Bxy+Cy^{2} +Dx+Ey+F=0\)

Эллипс

Опр. Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

\(\begin{array}{{>{\displaystyle}l}} По\ определению:\\ MF_{1} +MF_{2} =2a\\ F_{1} F_{2} =2c\\ 2a >2c,\ a >c\\ MF_{1} =\sqrt{( x+c)^{2} +y^{2}}\\ MF_{2} =\sqrt{( x-c)^{2} +y^{2}}\\ \sqrt{( x+c)^{2} +y^{2}} +\sqrt{( x-c)^{2} +y^{2}} =2a\\ \sqrt{( x+c)^{2} +y^{2}} =2a\ -\sqrt{( x-c)^{2} +y^{2}}\\ ( x+c)^{2} +y^{2} =4a^{2} -4a\sqrt{( x-c)^{2} +y^{2}} +( x-c)^{2} +y^{2}\\ ( x+c)^{2} -( x-c)^{2} =4a\left( a-\sqrt{( x-c)^{2} +y^{2}}\right)\\ 4c\cdot 2x=4a\left( a-\sqrt{( x-c)^{2} +y^{2}}\right) \ |:4\\ cx=a^{2} -a\sqrt{( x-c)^{2} +y^{2}}\\ a\sqrt{( x-c)^{2} +y^{2}} =a^{2} -cx\\ a^{2}\left(( x-c)^{2} +y^{2}\right) =\left( a^{2} -cx\right)^{2}\\ a^{2}( x-c)^{2} +a^{2} y^{2} =a^{4} -2a^{2} cx+c^{2} x^{2}\\ a^{2}\left( x^{2} -2xc+c^{2}\right) +a^{2} y^{2} =a^{4} -2a^{2} cx+c^{2} x^{2}\\ a^{2} x^{2} -2a^{2} xc+a^{2} c^{2} +a^{2} y^{2} =a^{4} -2a^{2} cx+c^{2} x^{2}\\ a^{4} -a^{2} c=a^{2} x^{2} -c^{2} x^{2} +a^{2} y^{2}\\ \left( a^{2} -c^{2}\right) x^{2} +a^{2} y^{2} =a^{2}\left( a^{2} -c^{2}\right)^{2}\\ Пусть\ a^{2} -c^{2} =b^{2}\\ b^{2} x^{2} +a^{2} y^{2} =a^{2} \cdot b^{2} \ |\ :a^{2} b^{2}\\ Уравнение\ эллипса:\ \frac{x^{2}}{a^{2}} +\frac{y^{2}}{b^{2}} =1 \end{array}\)

Основные характеристики эллипса

\(2a\)-большая ось эллипса
\(2b \)-малая ось эллипса
\(F_1(-c;0)\)-левый фокус эллипса
\(F_2(c;0)\)-правый фокус эллипса
Эксцентриситет эллипса: \(\varepsilon =\frac{c}{a}\)
Директриссы эллипса:
\(\begin{array}{{>{\displaystyle}l}} x=-\frac{a}{\varepsilon }\\ x=\frac{a}{\varepsilon } \end{array}\)

Гипербола

Опр. Гиперболой называется геометрическое место точек, абсолютная величина разности расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

\(\begin{array}{{>{\displaystyle}l}} |MF_{1} -MF_{2} |=2a\\ F_{1} F_{2} =2c\\ \ c >a\\ Уравнение\ гиперболы:\frac{x^{2}}{a^{2}} -\frac{y^{2}}{b^{2}} =1\ \\ с^{2} =a^{2} +b^{2} \end{array}\)

Основные характеристики гиперолы

Утв. Гипербола имеет асимптоты.

\(\begin{array}{{>{\displaystyle}l}} \frac{x^{2}}{a^{2}} -\frac{y^{2}}{b^{2}} =1\ \Leftrightarrow \left(\frac{x}{a}\right)^{2} -\left(\frac{y}{b}\right)^{2} =1\Leftrightarrow \\ \left(\frac{x}{a} +\frac{y}{b}\right)\left(\frac{x}{a} -\frac{y}{b}\right) =1\\ Уравнения\ асимптот:\ \frac{x}{a} -\frac{y}{b} =0\Rightarrow y=\frac{b}{a} x\\ \frac{x}{a} +\frac{y}{b} =0\Rightarrow y=-\frac{b}{a} x \end{array}\)

\(2a \) - вещественная ось гиперолы

\(2b \) - мнимая ось гиперболы

\(F_1(-c;0),F_2(c;0)\) - фокусы

\(\varepsilon =\frac{c}{a}\)- эксцентриситет

\(x=\pm \frac{a}{\varepsilon }\) - директриссы

Парабола

Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки F, называемой фокусом параболы, и данной прямой, называемой ее директрисой.

\(\begin{array}{{>{\displaystyle}l}} MQ=MF\\ MQ=\sqrt{\left( x+\frac{p}{2}\right)^{2} +0^{2}}\\ MF=\sqrt{\left( x-\frac{p}{2}\right)^{2} +y^{2}}\\ \sqrt{\left( x+\frac{p}{2}\right)^{2}} =\sqrt{\left( x-\frac{p}{2}\right)^{2} +y^{2}}\\ x^{2} +px+\frac{p^{2}}{4} =x^{2} -px+\frac{p^{2}}{4} +y^{2}\\ y^{2} =2px\\ p-параметр\ параболы\\ \varepsilon =1 \end{array}\)