Плоскость

Общее уравнение плоскости

\(\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} Рассмотрим\ точку\ на\ плоскости\ M_{0}( x_{0} ;y_{0} ;z_{0}) \ на\ плосткости,\\ пусть\ вектор\ \vec{n} =\{A;B;C\} -\ вектор\ нормали\ к\ этой\ плоскости.\\ Выпишем\ условие\ принадлежности\ произвольной\ точки\ M( x_{1} ;y_{1} ;z_{1})\\ этой\ плоскости.\\ \boldsymbol{Условие}\\ \overrightarrow{M_{0} M} =\{x-x_{0} ;y-y_{0} ;z-z_{0}\}\\ \vec{n} \perp \overrightarrow{M_{0} M} \ \Leftrightarrow \ \vec{n} \cdot \overrightarrow{M_{0} M} =0\ \Leftrightarrow \\ \boldsymbol{A( x-x_{0}) +B( y-y_{0}) +C( z-z_{0}) =0}\\ Ax+By+Cz-Ax_{0} -By_{0} -Cz_{0} =0\\ D=-Ax_{0} -By_{0} -Cz_{0}\\ \boldsymbol{Ax+By+Cz+D=0} \end{array}\)

Уравнение плоскости в отрезках

\(\frac{x}{a} +\frac{y}{b} +\frac{z}{c} =1\)

Уравнение плоскости по трем точкам

\(\begin{array}{{>{\displaystyle}l}} Пусть\ M_{1}( x_{1} ;y_{1} ;z_{1}) ,\ M_{2}( x_{2} ;y_{2} ;z_{2}) ,M_{2}( x_{3} ;y_{3} ;z_{3}) .\\ Выберем\ M( x,y,z) \ -\ произвольную\ точку\ на\ плоскости,\\ условие\ ее\ принадлежности\ данной\ плоскости\ -\ компланарность\\ векторов\ \overrightarrow{M_{1} M} ,\overrightarrow{M_{1} M_{2}} \ и\ \overrightarrow{M_{1} M_{3}} ,\ то\ есть\ смешанное\ произведение\ этих\\ векторов\ равно\ нулю:\\ \overrightarrow{M_{1} M} \ \overrightarrow{M_{1} M_{2}} \ \overrightarrow{M_{1} M_{3}} =0\\ Координаты\ векторов:\\ \overrightarrow{M_{1} M} =\{x-x_{1} ;\ y-y_{1} ;\ z-z_{1}\}\\ \overrightarrow{M_{1} M_{2}} =\{x_{2} -x_{1} ;\ y_{2} -y_{1} ;\ z_{2} -z_{1}\}\\ \overrightarrow{M_{1} M_{2}} =\{x_{3} -x_{1} ;\ y_{3} -y_{1} ;\ z_{3} -z_{1}\}\\ Уравнение\ плоскости\\ \begin{vmatrix} x-x_{1} & y-y_{1} & z-z_{1}\\ x_{2} -x_{1} & \ y_{2} -y_{1} & z_{2} -z_{1}\\ x_{3} -x_{1} & y_{3} -y_{1} & z_{3} -z_{1} \end{vmatrix} =0 \end{array}\)

Расстояние от точки до плоскости

\(\begin{array}{{>{\displaystyle}l}} т.M( x_{0} ;\ y_{0} ;\ z_{0})\\ Ax+By+Cz+D=0\ -\ плоскость\\ d=\frac{|Ax_{0} +By_{0} +Cz_{0} +D|}{\sqrt{A^{2} +B^{2} +C^{2}}} \end{array}\)