Ранг матрицы

Опр. Минором матрицы k-ого порядка называется определитель, элементы которого находятся на пересечении любых k строк и любых k столбцов данной матрицы.

Пример

\(\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} A=\begin{pmatrix} 5 & -3 & 2 & 6\\ 4 & 8 & 1 & 3\\ 9 & -6 & -4 & -1 \end{pmatrix}\\ M_{2} =\begin{vmatrix} -3 & 6\\ -6 & -1 \end{vmatrix} =39 \end{array}\)

Опр. Рангом матрицы называется наименьший порядок, отличного от нуля, минора этой матрицы.

Вычисление ранга матрицы

Способ 1.Метод окаймления

Правило: При вычислении ранга матрицы переходят от миноров меньших порядков к минорам больших порядков. При этом, если уже найден отличный от нуля минор m k-ого порядк, то вычисляют лишь миноры k+1, окаймляющие, т.е. содержащие внутри себя минор k-ого порядка.

Если все миноры k+1 порядка, окаймляющие ненулевой минор k-ого порядка, будут равны 0, то ранг матрицы равен k (rg(A)=k).

Пример вычисления ранга матрицы

\(\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} A=\begin{pmatrix} 3 & -1 & 3 & 2\\ 5 & -3 & 2 & 3\\ 1 & 3 & -5 & 0 \end{pmatrix}\\ M_{1} =|3|=3\neq 0\\ M_{2} =\begin{vmatrix} 3 & -1\\ 5 & -3 \end{vmatrix} =-4\neq 0\\ M^{'}_{3} =\begin{vmatrix} 3 & -1 & 3\\ 5 & -3 & 2\\ 1 & 3 & -5 \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} 0 & 8 & 18\\ 5 & -3 & 2\\ 1 & 3 & -5 \end{vmatrix} =( -8) \cdot \begin{vmatrix} 5 & 2\\ 1 & -5 \end{vmatrix} +18\cdot \begin{vmatrix} 5 & -3\\ 1 & -3 \end{vmatrix} =\\ =( -8) \cdot ( -25-2) +18\cdot ( -15+3) =0\\ M^{''}_{2} =\begin{vmatrix} -1 & 3 & 2\\ -3 & 2 & 3\\ 3 & -5 & 0 \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} -1 & 2\\ -3 & 3 \end{vmatrix} -3\cdot \begin{vmatrix} 3 & 2\\ 5 & 3 \end{vmatrix} =3-3\cdot 1=0 \end{array}\)

Так как все миноры третьего порядка, окаймляющие ненулевой минор второго порядка равны 0, то ранг матрицы равен 2.

Способ 2.Метод элементарных преобразований

Элементарные преобразования:

1. Перестановка местами строк (столбцов).
2. Прибавление к элементам одной строки (столбца) элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число.
3. Транспонирование.

Правила: Исходную матрицу элементарными преобразованиями приводят к трапецевидной форме, при этом количество ненулевых строк будет равно рангу матрицы.

Пример вычисления ранга матрицы

\(\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} A=\begin{pmatrix} 3 & -1 & 3 & 2\\ 5 & -3 & 2 & 3\\ 1 & -3 & -5 & 0 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & -3 & -5 & 0\\ 5 & -3 & 2 & 3\\ 3 & -1 & 3 & 2 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & -3 & -5 & 0\\ 0 & 12 & 27 & 3\\ 0 & 8 & 18 & 2 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & -3 & -5 & 0\\ 0 & 4 & 9 & 1\\ 0 & 4 & 9 & 1 \end{pmatrix} \sim \\ \sim \begin{pmatrix} 1 & -3 & -5 & 0\\ 0 & 4 & 9 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{array}\)

Ответ: rg(A)=2.