К основному контенту

Ранг матрицы

Опр. Минором матрицы k-ого порядка называется определитель, элементы которого находятся на пересечении любых k строк и любых k столбцов данной матрицы.

Пример

\(\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} A=\begin{pmatrix} 5 & -3 & 2 & 6\\ 4 & 8 & 1 & 3\\ 9 & -6 & -4 & -1 \end{pmatrix}\\ M_{2} =\begin{vmatrix} -3 & 6\\ -6 & -1 \end{vmatrix} =39 \end{array}\)

Опр. Рангом матрицы называется наименьший порядок, отличного от нуля, минора этой матрицы.

Вычисление ранга матрицы

Способ 1.Метод окаймления

Правило: При вычислении ранга матрицы переходят от миноров меньших порядков к минорам больших порядков. При этом, если уже найден отличный от нуля минор m k-ого порядк, то вычисляют лишь миноры k+1, окаймляющие, т.е. содержащие внутри себя минор k-ого порядка.

Если все миноры k+1 порядка, окаймляющие ненулевой минор k-ого порядка, будут равны 0, то ранг матрицы равен k (rg(A)=k).

Пример вычисления ранга матрицы

\(\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} A=\begin{pmatrix} 3 & -1 & 3 & 2\\ 5 & -3 & 2 & 3\\ 1 & 3 & -5 & 0 \end{pmatrix}\\ M_{1} =|3|=3\neq 0\\ M_{2} =\begin{vmatrix} 3 & -1\\ 5 & -3 \end{vmatrix} =-4\neq 0\\ M^{'}_{3} =\begin{vmatrix} 3 & -1 & 3\\ 5 & -3 & 2\\ 1 & 3 & -5 \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} 0 & 8 & 18\\ 5 & -3 & 2\\ 1 & 3 & -5 \end{vmatrix} =( -8) \cdot \begin{vmatrix} 5 & 2\\ 1 & -5 \end{vmatrix} +18\cdot \begin{vmatrix} 5 & -3\\ 1 & -3 \end{vmatrix} =\\ =( -8) \cdot ( -25-2) +18\cdot ( -15+3) =0\\ M^{''}_{2} =\begin{vmatrix} -1 & 3 & 2\\ -3 & 2 & 3\\ 3 & -5 & 0 \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} -1 & 2\\ -3 & 3 \end{vmatrix} -3\cdot \begin{vmatrix} 3 & 2\\ 5 & 3 \end{vmatrix} =3-3\cdot 1=0 \end{array}\)

Так как все миноры третьего порядка, окаймляющие ненулевой минор второго порядка равны 0, то ранг матрицы равен 2.

Способ 2.Метод элементарных преобразований

Элементарные преобразования:

  1. Перестановка местами строк (столбцов).
  2. Прибавление к элементам одной строки (столбца) элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число.
  3. Транспонирование.

Правила: Исходную матрицу элементарными преобразованиями приводят к трапецевидной форме, при этом количество ненулевых строк будет равно рангу матрицы.

Пример вычисления ранга матрицы

\(\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} A=\begin{pmatrix} 3 & -1 & 3 & 2\\ 5 & -3 & 2 & 3\\ 1 & -3 & -5 & 0 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & -3 & -5 & 0\\ 5 & -3 & 2 & 3\\ 3 & -1 & 3 & 2 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & -3 & -5 & 0\\ 0 & 12 & 27 & 3\\ 0 & 8 & 18 & 2 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & -3 & -5 & 0\\ 0 & 4 & 9 & 1\\ 0 & 4 & 9 & 1 \end{pmatrix} \sim \\ \sim \begin{pmatrix} 1 & -3 & -5 & 0\\ 0 & 4 & 9 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{array}\)

Ответ: rg(A)=2.

Ярлыки:

Комментарии

Отправить комментарий

Популярные сообщения из этого блога

Скорость материальной точки

Скоростью   \(\vec v\)  точки называется предел отношения перемещения  \(\Delta \vec r\)  к промежутку времени  \(\Delta t\) , в течении которого это перемещение произошло, при стремлении  \(\Delta t\)  к нулю (т.е производной \(\Delta \vec r\)  по \(t\) ) : \(\vec{v} =\lim _{\Delta t \rightarrow 0}\dfrac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} =\overrightarrow{r'_{t}}\) Составляющие вектора по осям X, Y, Z определяются анологично: \(v_x =\lim _{\Delta t \rightarrow 0}\dfrac{\Delta x}{\Delta t} =x'_t\) \(v_y =y'_t\) \(v_z =z'_t\) Определенное таким образом понятие скорости называют также мгновенной скоростью . Это определение скорости справедливо для любых видов движения - от криволинейного равномерного до прямолинейного равномерного . Закон сложения скоростей Галилея \(\vec v_2=\vec v_1+\vec v\) \(\vec v_2, \vec v_1\) - скорости тела (точки) относительно двух инерциальных систем отсчета - неподвижной системы отсчета  \(K_2\)  и системы отс...
Отправить комментарий
Далее...

Аналитическая геометрия. План

Комплексные числа Алгебраическая форма записи Теория Алгебраическая форма записи . Задачи Действия над комплексными числами. Упростить выражение. Комплексное сопряжение. Уравнение с комплексным числом.  Тригонометрическая форма записи Теория Тригонометрическая форма записи. Действия над числами. Задачи Записать число в тригонометрической форме. Показательная форма комплексного числа Теория Показательная форма записи. Действия над числами. Матричная алгебра Матрицы и действия над ними Теория Матрицы и действия над ними. Задачи Решение матричных уравнений. Определитель матрицы Теория Определитель матрицы. Обратная матрица Теория Обратная матрица. Ранг матрицы Теория Ранг матрицы. Системы линейных алгебраических уравнений Матричный способ решения СЛАУ Теория Матричный способ решения СЛАУ. Формулы Крамера Теория Формулы Крамера. Метод Гаусса решения СЛАУ Теория Метод Гаусса. Векто...
Отправить комментарий
Далее...

Кривые второго порядка

Кривой второго порядка называется геометриечкое место точек, которые в декартовой системе координат определяются уравнением второй степени. \(Ax^{2} +Bxy+Cy^{2} +Dx+Ey+F=0\) Эллипс Опр . Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами. \(\begin{array}{{>{\displaystyle}l}} По\ определению:\\ MF_{1} +MF_{2} =2a\\ F_{1} F_{2} =2c\\ 2a >2c,\ a >c\\ MF_{1} =\sqrt{( x+c)^{2} +y^{2}}\\ MF_{2} =\sqrt{( x-c)^{2} +y^{2}}\\ \sqrt{( x+c)^{2} +y^{2}} +\sqrt{( x-c)^{2} +y^{2}} =2a\\ \sqrt{( x+c)^{2} +y^{2}} =2a\ -\sqrt{( x-c)^{2} +y^{2}}\\ ( x+c)^{2} +y^{2} =4a^{2} -4a\sqrt{( x-c)^{2} +y^{2}} +( x-c)^{2} +y^{2}\\ ( x+c)^{2} -( x-c)^{2} =4a\left( a-\sqrt{( x-c)^{2} +y^{2}}\right)\\ 4c\cdot 2x=4a\left( a-\sqrt{( x-c)^{2} +y^{2}}\right) \ |:4\\ cx=a^{2} -a\sqrt{( x-c)^{2} +y^{2}}\\ a\sqrt{( x-c)^{2} +y^{2}} =a^{2} -cx\\ a^{2}\left(( x-c)^{2} +y^{2}\right) =...
Отправить комментарий
Далее...