Задача. Смешанное произведение. Найти высоту

Найти длину высоты AH треугольной пирамиды ABCD, где А(2;-4;5), B(-1;-3;4), C(5;5;-1), D(1;-2;2).

Решение

\(\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} V=\frac{1}{6} |\overrightarrow{BC}\overrightarrow{BD}\overrightarrow{BA} |\\ V=\frac{1}{3} S_{BDC} \cdot AH=\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot |\overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{BD} |\cdot \overrightarrow{AH}\\ Высота\ AH=\frac{|\overrightarrow{BC}\overrightarrow{BD}\overrightarrow{BA} |}{|\overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{BD} |}\\ \overrightarrow{BC} =\{-6;\ -8;\ 5\}\\ \overrightarrow{BD} =\{-2;\ -1;\ 2\}\\ \overrightarrow{BA} =\{-3;\ 1;\ -1\}\\ \overrightarrow{BC}\overrightarrow{BD}\overrightarrow{BA} =\begin{vmatrix} -6 & -8 & 5\\ -2 & -1 & 2\\ -3 & 1 & -1 \end{vmatrix} =45\\ \overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{BD} =\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ -6 & -8 & 5\\ -2 & -1 & 2 \end{vmatrix} =\vec{i}\begin{vmatrix} -8 & 5\\ -1 & 2 \end{vmatrix} -\vec{j}\begin{vmatrix} -6 & 5\\ -2 & 2 \end{vmatrix} +\\ +\vec{k}\begin{vmatrix} -6 & -8\\ -2 & -1 \end{vmatrix} =-11\vec{i} -2\vec{j} -10\vec{k}\\ \\ \overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{BD} =\sqrt{11^{2} +2^{2} +10^{2}} =\sqrt{225} =15\\ AH=\frac{45}{15} =3\\ Ответ:\ AH=3\ ( ед) . \end{array}\)