Прямая линия на плоскости

Общее уравнение прямой

\(\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} Рассмотрим\ точку\ на\ прямой\ M( x_{0} ;y_{0}) \ и\ вектор\ нормали\ \vec{n} =\{A;B\} .\\ Возьмем\ M( x;y) .\ Выпишем\ условие\ принаждлежности\ этой\ точки\\ данной\ прямой:\\ \overrightarrow{M_{0} M} \perp \vec{n} \Leftrightarrow \vec{n} \cdot \overrightarrow{M_{0} M} =0,\\ \overrightarrow{M_{0} M} =\{x-x_{0} ;y-y_{0}\}\\ A\cdot ( x-x_{0}) +B( y-y_{0}) =0\\ Ax+By-Ax_{0} -By_{0} =0\ \ \\ -Ax_{0} -By_{0} =C\\ Ax+By+C=0 \end{array}\)

Каноническое уравнение прямой

\(\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} Дана\ точка\ на\ прямой\ M_{0}( x_{0} ;y_{0}) \ и\ направляющий\ вектор\ прямой\ \vec{q} =\{l,m\} .\\ Условие\ принадлежности\ M_{0}( x_{0} ;y_{0}) \ прямой:\\ M_{0}( x_{0} ;y_{0}) \parallel \vec{q} \Leftrightarrow \frac{x-x_{0}}{l} =\frac{y-y_{0}}{m} \ ( каноническое\ уравнение\ прямой) \end{array}\)

Параметрическое уравнение прямой

Вывод уравнений

\(\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} Заметим,\ что\ в\ каноническом\ уравнении:\\ \frac{x-x_{0}}{l} =\frac{y-y_{0}}{m} =t,\ где\ t-параметр\ \Leftrightarrow \\ \frac{x-x_{0}}{l} =t\ и\ \frac{y-y_{0}}{m} =t\\ Искомое\ уравнение:\\ \begin{cases} x=x_{0} +lt\\ y=y_{0} +mt \end{cases} \end{array}\)

Пример

\(\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} Найти\ угол\ пересечения\ двух\ прямых:\\ \begin{array}{ c c } ( L_{1}) :3x+4y-9=0 & ( L_{2}) :\begin{cases} x=5+2t\\ y=1+6t \end{cases}\\ \overrightarrow{n_{1}} =\{3;4\} & \frac{x-5}{2} =\frac{x-1}{6} =t\\ & x-5=2t\\ & x-1=6t\\ & \frac{x-5}{2} =\frac{y-1}{6}\\ & 3( x-5) =y-1\\ & 3x-15=y-1\\ & 3x-y-14=0\\ & \overrightarrow{n_{2}} =\{7;-1\} \end{array}\\ Угол\ между\ прямыми:\\ \cos \varphi =\frac{\overrightarrow{n_{1}} \cdot \overrightarrow{n_{2}}}{\overrightarrow{|n_{1} |} \cdot |\overrightarrow{n_{2} |}} =\frac{3\cdot 3+4\cdot ( -1)}{\sqrt{3^{2} +1^{2}\sqrt{3^{2} +( -1)^{2}}}} =\frac{5}{5\sqrt{10}} =\frac{1}{\sqrt{10}}\\ \varphi =\arccos\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right) \end{array}\)

Прямая с угловым коэффициентом

\(y=kx+b\)

\(\displaystyle k=tg\alpha \ ( угловой\ коэффициент)\)

Уравнение прямой в отрезках

\(\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} Рассмотрим\ общее\ уравнение\ прямой:\\ Ax+By+C=0\\ Ax+By=-C\\ \frac{A}{C} x+\frac{-B}{C} y=1\\ \frac{x}{\left( -\frac{C}{A}\right)} +\frac{y}{\left( -\frac{C}{B}\right)} =1\\ \frac{x}{a} +\frac{y}{b} =1\ ( уравнение\ прямой\ в\ отрезках) \end{array}\)

Уравнение прямой, проходящей через 2 точки

\(\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} Пусть\ M_{1}( x_{1} ;y_{1}) ,M_{2}( x_{2} ;y_{2})\\ \overrightarrow{M_{1} M_{2}} -направляющий\ вектор\\ \overrightarrow{M_{1} M_{2}} =\{x_{2} -x_{1} ,y_{2} -y_{1}\}\\ Пусть\ M_{1}( x_{1} ;y_{1}) \ -\ точка\ на\ прямой.\\ Воспользуемся\ каноническим\ уравнением\ прямой:\ \frac{x-x_{0}}{l} =\frac{y-y_{0}}{m} \ \Rightarrow \\ \ \frac{x-x_{1}}{x_{2} -x_{1}} =\frac{y-y_{1}}{y_{2} -y_{1}} \end{array}\)

Формула расстояния от точки до прямой

\(\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} Формула\ расстояния\ от\ точки\ M( x_{0} ;y_{0}) \ до\ прямой\ Ax+By+C=0\\ d=\frac{|Ax_{0} +By_{0} +C|}{\sqrt{A^{2} +B^{2}}} \end{array}\)