Опр. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, имеющая m строк и n столбцов.
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n}\\ ... & ... & ... & ...\\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \end{pmatrix}\\ A_{m\times n} =( a_{ij}) ,\ i=1,...,m,\ j=1,...,n \end{array}$
Пример
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} A=\begin{pmatrix} 5 & 2 & 4\\ 3 & 6 & 1 \end{pmatrix}\\ A^{T} =\begin{pmatrix} 5 & 3\\ 2 & 6\\ 4 & 1 \end{pmatrix} \end{array}$
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
A=\begin{pmatrix}
3 & 7\\
2 & 1
\end{pmatrix}\\
A\cdot 5=\begin{pmatrix}
3 & 7\\
2 & 1
\end{pmatrix} \cdot 5=\begin{pmatrix}
15 & 35\\
10 & 5
\end{pmatrix}
\end{array}$
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
A=\begin{pmatrix}
5 & 2 & 1\\
3 & 4 & 6
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
7 & 9\\
8 & -1\\
0 & -3
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
5\cdot 7+2\cdot 8+1\cdot 0 & 5\cdot 9+2\cdot ( -2) +1\cdot ( -2)\\
3\cdot 7+4\cdot 8+6\cdot 0 & 3\cdot 9+4\cdot ( -1) +6\cdot ( -3)
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
51 & 40\\
53 & 5
\end{pmatrix}\\
B=\begin{pmatrix}
2 & 1 & 1\\
3 & 2 & 0
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
2 & -1 & 4\\
0 & 2 & 0\\
1 & 1 & -2
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
5 & 1 & 6\\
6 & 1 & 12
\end{pmatrix}\\
C=\begin{pmatrix}
1 & -3 & 2\\
3 & -4 & 1\\
2 & -5 & 3
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
2 & 5 & 6\\
1 & 2 & 5\\
1 & 3 & 2
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
1 & 5 & -5\\
3 & 10 & 0\\
2 & 9 & -7
\end{pmatrix}
\end{array}$
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n}\\ ... & ... & ... & ...\\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \end{pmatrix}\\ A_{m\times n} =( a_{ij}) ,\ i=1,...,m,\ j=1,...,n \end{array}$
Основные действия над матрицами
Транспонирование
При транспонировании строчки меняются местами со столбцами.Пример
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} A=\begin{pmatrix} 5 & 2 & 4\\ 3 & 6 & 1 \end{pmatrix}\\ A^{T} =\begin{pmatrix} 5 & 3\\ 2 & 6\\ 4 & 1 \end{pmatrix} \end{array}$
Умножение матрицы на число
При умножении матрицы на число каждый элемент матрицы умножается на это число.
Сложение (вычитание) матриц
При сложении (вычитании) складываются (вычитаются) их соответствующие элементы.
Матрицы одинаковой размерности:
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
A=\begin{pmatrix}
7 & 9\\
8 & -6
\end{pmatrix}\\
B=\begin{pmatrix}
-3 & -2\\
-1 & 5
\end{pmatrix}\\
A+B=\begin{pmatrix}
4 & 7\\
7 & -1
\end{pmatrix}\\
A-B=\begin{pmatrix}
10 & 11\\
9 & -11
\end{pmatrix}
\end{array}$
Умножение матриц
Правило: умножать матрицы можно только в том случае, если количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы.
Примеры
Комментарии
Отправить комментарий