Рассмотрим систему m уравнений с n неизвестными.
\(\displaystyle \begin{cases} a_{11} x_{1} +a_{12} x_{2} +a_{31} x_{3} +...+a_{1n} x_{n} =b_{1}\\ a_{21} x_{1} +a_{22} x_{2} +a_{21} x_{3} +...+a_{2n} x_{n} =b_{2}\\ ...\\ a_{m1} x_{1} +a_{m2} x_{2} +a_{m1} x_{3} +...+a_{mn} x_{n} =b_{n} \end{cases}\)
Запишем расширенную матрицу системы урвнений:
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} & b_{1}\\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} & b_{2}\\ ... & ... & ... & ... & ...\\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} & b_{n} \end{pmatrix}\\ A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n}\\ ... & ... & ... & ...\\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \end{pmatrix}\\ B=\begin{pmatrix} b_{1}\\ b_{2}\\ ...\\ b_{n} \end{pmatrix}\\ X=\begin{pmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ ...\\ x_{n} \end{pmatrix}\\ A-основная\ матрица\ системы\\ B-столбцы\ правых\ частей\\ X-вектор\ неизвестных\\ A\cdot X=B,\ откуда\ X=A^{-1} \cdot B\\ Для\ нахождения\ A^{-1} \ воспользуемся\ формулой\ A^{-1} =\frac{1}{\Delta }\left( A^{*}\right)^{T} .\\ Для\ того,\ чтобы\ решить\ систему\ уравнений\ при\ помощи\ обратной\ матрицы,\ нужно,\ \\ чтобы\ система\ уравнений\ была:\ \\ 1.\ квадратной\ m=n\\ 2.\ Определитель\ основной\ матрицы\ не\ должен\ равняться\ 0.\\ Пример\\ \begin{cases} 3x+2y+2z=-3\\ x+3y+z=-6\\ 5x+3y+4z=-5 \end{cases} \ \ \\ Составим\ расширенную\ матрицу\ системы:\\ \begin{pmatrix} 3 & 2 & 2 & -3\\ 1 & 3 & 1 & -6\\ 5 & 3 & 4 & -5 \end{pmatrix}\\ A=\begin{pmatrix} 3 & 2 & 2\\ 1 & 3 & 1\\ 5 & 3 & 4 \end{pmatrix} \ \ B=\begin{pmatrix} -3\\ -6\\ -5 \end{pmatrix} \ \ T=\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}\\ A\cdot T=B\\ T=A^{-1} \cdot B\\ \ \ detA=\begin{vmatrix} 3 & 2 & 2\\ 1 & 3 & 1\\ 5 & 3 & 4 \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} 3 & 2 & 2\\ 1 & 3 & 1\\ -1 & -1 & 0 \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} 1 & -4 & 0\\ 1 & 3 & 1\\ -1 & -1 & 0 \end{vmatrix} =( -1) \cdot \begin{vmatrix} 1 & -4\\ -1 & -1 \end{vmatrix} =\\ =( -1) \cdot ( -1-4) =5\\ A^{*} =\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13}\\ A_{21} & A_{22} & A_{23}\\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{pmatrix}\\ A_{11} =( -1)^{1+1} \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1\\ 3 & 4 \end{vmatrix} =9\\ A_{12} =( -1)^{1+2} \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1\\ 5 & 4 \end{vmatrix} =1\\ A_{13} =( -1)^{2+2} \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3\\ 5 & 3 \end{vmatrix} =-12\\ A_{21} =( -1)^{2+1} \cdot \begin{vmatrix} 2 & 2\\ 3 & 4 \end{vmatrix} =-2\\ A_{22} =( -1)^{2+2} \cdot \begin{vmatrix} 3 & 2\\ 5 & 4 \end{vmatrix} =2\\ A_{23} =( -1)^{2+3} \cdot \begin{vmatrix} 3 & 2\\ 5 & 3 \end{vmatrix} =1\\ A_{31} =( -1)^{3+1} \cdot \begin{vmatrix} 2 & 2\\ 3 & 1 \end{vmatrix} =-4\\ A_{32} =( -1)^{3+2} \cdot \begin{vmatrix} 3 & 2\\ 1 & 1 \end{vmatrix} =-1\\ A_{33} =( -1)^{3+3} \cdot \begin{vmatrix} 3 & 2\\ 1 & 3 \end{vmatrix} =7\\ A^{*} =\begin{pmatrix} 9 & 1 & -12\\ -2 & 2 & 1\\ -4 & -1 & 7 \end{pmatrix}\\ \left( A^{*}\right)^{T} =\begin{pmatrix} 9 & -2 & -4\\ 1 & 2 & -1\\ -12 & 1 & 7 \end{pmatrix}\\ A^{-1} =\dfrac{1}{detA}\left( A^{*}\right)^{T} =\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix} 9 & -2 & -4\\ 1 & 2 & -1\\ -12 & 1 & 7 \end{pmatrix}\\ T=A^{-1} \cdot B=\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix} 9 & -2 & -4\\ 1 & 2 & -1\\ -12 & 1 & 7 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -3\\ -6\\ -5 \end{pmatrix} =\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix} 5\\ -10\\ -5 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1\\ -2\\ -1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}\\ Ответ:\ x=1,\ y=-2,\ z=-1. \end{array}$
Комментарии
Отправить комментарий