Прямая в пространстве

Каноническое уравнение прямой

\(\begin{array}{{>{\displaystyle}l}} M_{0}( x_{0} ;\ y_{0} ;\ z_{0})\\ \vec{q} =\{l,m,p\} \ -\ направляющий\ вектор\ прямой\\ Выпишем\ условие\ принадлежности\ производной\ точки\ M( x,y,z) \ прямой:\\ \overrightarrow{M_{0} M} \parallel \vec{q}\\ \overrightarrow{M_{0} M} =\{x-x_{0} ;\ y-y_{0} ;\ z-z_{0}\}\\ Каноническое\ уравнение\ прямой:\\ \frac{x-x_{0}}{l} =\frac{y-y_{0}}{m} =\frac{z-z_{0}}{p} \end{array}\)

Параметрические уравнения прямой

\(\begin{array}{{>{\displaystyle}l}} \begin{cases} x=x_{0} +lt\\ y=y_{0} +mt\\ z=z_{0} +pt \end{cases}\\ \vec{q} =\{l,m,p\} \ -\ направляющий\ вектор\\ M_{0}( x_{0} ;y_{0} ;z_{0}) -точка\ на\ прямой \end{array}\)

Уравнение прямой, проходящей через две точки

\(\begin{array}{{>{\displaystyle}l}} M_{1}( x_{1} ;y_{1} ;z_{1}) ,M_{2}( x_{2} ;y_{2} ;z_{2})\\ \frac{x-x_{1}}{x_{2} -x_{1}} =\frac{y-y_{1}}{y_{2} -y_{1}} =\frac{z-z_{1}}{z_{2} -z_{1}} \end{array}\)

Прямая как пересечение двух плоскостей

\(\begin{array}{{>{\displaystyle}l}} \begin{cases} A_{1} x+B_{1} y+C_{1} z+D_{1} =0\\ A_{2} x+B_{2} y+C_{2} z+D_{2} =0 \end{cases}\\ \vec{q} -направляющий\ вектор\\ \vec{q} =\overrightarrow{n_{1}} \times \overrightarrow{n_{2}} \end{array}\)

Пример

Записать каноническое уравнение прямой, заданнной пересечением двух плоскостей:

\(\begin{array}{{>{\displaystyle}l}} \begin{cases} 2x+3y+4z-5=0\\ 6x+5y-2z-2=0 \end{cases}\\ Решение\\ Каноническое\ уравнение\ прямой\ имеет\ вид:\\ \frac{x-x_{0}}{l} =\frac{y-y_{0}}{m} =\frac{z-z_{0}}{p}\\ \vec{q} -направляющий\ вектор\\ \vec{q} =\{l,m,p\}\\ M_{0}( x_{0} ,y_{0} ,z_{0})\\ Вектора\ нормали\ к\ плоскостям:\\ \overrightarrow{n_{1}} =\{2;3;4\}\\ \overrightarrow{n_{2}} =\{6;5;-2\}\\ Найдем\ направляющий\ вектор\ прямой\ \vec{q} =\overrightarrow{n_{1}} \times \overrightarrow{n_{2}} =\\ =\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ 2 & 3 & 4\\ 6 & 5 & -2 \end{vmatrix} =\vec{i}\begin{vmatrix} 3 & 4\\ 5 & -2 \end{vmatrix} -\vec{j}\begin{vmatrix} 2 & 4\\ 6 & -2 \end{vmatrix} +\vec{k}\begin{vmatrix} 2 & 3\\ 6 & 5 \end{vmatrix} =\\ =-26\vec{i} +28\vec{j} +\vec{k}\\ \vec{q} =\{-26;28;8\} =\{l,m,p\}\\ Выберем\ любую\ точку\ на\ прямой,\ для\ этого\ возьмем\ какое-либо\\ производное\ решение\ системы\ уравнений:\ M( -1;2;1) .\\ Каноническое\ уравнение\ имеет\ вид:\\ \frac{x+1}{-26} =\frac{y-2}{28} =\frac{z-1}{8} \end{array}\)

Точка перечения прямой и плоскости

\(\begin{array}{{>{\displaystyle}l}} ( L) :\begin{cases} x=2+5t\\ y=1+3t\\ z=4+2t \end{cases}\\ Подставим\ в\ уравнение\ плоскости\ x,y,z\ и\ найдем\ значения\ параметра\ t:\\ 6( 2+5t) -4( 1+3t) +9( 4+2t) -1=\\ =12+30t-4-12t+36+18t-1=36t+43=0\\ t=-\frac{43}{36}\\ Выпишем\ координаты\ точки\ пересечения:\\ x_{m} =2+5\cdot \left( -\frac{43}{36}\right)\\ y_{m} =1+3\cdot \left( -\frac{43}{36}\right)\\ z_{m} =4+2\cdot \left( -\frac{43}{36}\right) \end{array}\)

Угол между прямой и плоскостью

\(\begin{array}{{>{\displaystyle}l}} ( L) :\frac{x-x_{0}}{l} =\frac{y-y_{0}}{m} =\frac{z-z_{0}}{p}\\ ( \gamma ) :\ Ax+By+Cz+D=0\\ \vec{q} -направляющий\ вектор\\ \vec{n} -вектор\ нормали\\ \vec{q} =\{l,m,p\}\\ \vec{n} =\{A,B,C\}\\ \cos \varphi =\cos( 90 -\alpha ) =\sin \alpha \\ \sin \alpha =\frac{\vec{n} \cdot \vec{q}}{|\vec{n} |\cdot |\vec{q} |} =\frac{Al+Bm+Cp}{\sqrt{A^{2} +B^{2} +C^{2}} \cdot \sqrt{l^{2} +m^{2} +p^{2}}} \end{array}\)