Метод Гаусса

Элементарные преобразования:

• Умножение строки на число, отличное от 0.
• Прибавление к элементом одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на одно и то же число.

Элементарными преобразованиями приводят расширенную матрицу системы к трапецевидной форме:

\(\displaystyle \begin{pmatrix} С_{11} & С_{12} & ... & С_{1r} & ... & C_{1n} & d_{1}\\ 0 & С_{22} & ... & С_{2r} & ... & C_{2n} & d_{2}\\ 0 & 0 & ... & ... & ... & .. & ...\\ 0 & 0 & 0 & C_{rr} & ... & C_{rn} & d_{r}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & ... & ... & ...\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & d_{n} \end{pmatrix}\)

Теорема Кронекера-Капелли

Система линейных уравнений совместна тогда и только тогла, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу ее основной матрицы.

rg(A|B)=rg(A)

Следствия (о числе решений)

Пусть СЛАУ совместна, т.е.

rg(A|B)=rg(A)

тогда

1) Если n=r, то СЛАУ имеет единственное решение.

2) Если n<r, то СЛАУ имеет бесконечное множество решений (неопределенное), при этом n-r можно выбрать производные (через параметр), а остальные выразить через них.

Замечание. Если ранг расширеннной матрицы системы не равен рангу ее основной системы, то система не имеет решений.

Примеры

Пример 1

\(\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} \begin{cases} x-2y+z=1\\ 3x+2y+2z=-2\\ 2x-y+z=2 \end{cases}\\ \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 1\\ 3 & 2 & 2 & -2\\ 2 & -1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 1\\ 0 & -1 & 2 & -5\\ 0 & 3 & -1 & 0 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 1\\ 0 & 1 & -2 & 5\\ 0 & 3 & -1 & 0 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 1\\ 0 & 1 & -2 & 5\\ 0 & 0 & 5 & -15 \end{pmatrix} \sim \\ \sim \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 1\\ 0 & 1 & -2 & 5\\ 0 & 0 & 1 & -3 \end{pmatrix}\\ \begin{cases} x-2y+z=1\\ y-2z=5\\ z=-3 \end{cases}\\ y=-1,\ x=2.\\ Ответ:\ \ x=2,\ y=-1,\ z=-3. \end{array}\)

Пример 2

\(\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} \begin{cases} x+2y+3z=1\\ 2x+y+5z=0\\ x+5y+4z=3 \end{cases}\\ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1\\ 2 & 1 & 5 & 0\\ 1 & 5 & 4 & 3 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1\\ 0 & -3 & -1 & -2\\ 0 & 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1\\ 0 & -3 & -1 & -2\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1\\ 0 & 3 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\\ \begin{cases} x+2y+3z=1\\ 3y+z=2 \end{cases}\\ Пусть\ y=h,\ тогда\ z=2-3y=2-3h\\ x=1-3z-2y=1-3z-2h=1-3( 2-3h) -2h=-5+7h\\ Ответ:\ x=-5+7h,\ y=h,\ z=2-3h,\ h\in \mathbb{R}\\ \end{array}\)