Векторное произведение векторов

\(\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} Векторным\ произведением\ \vec{a} \ и\ \vec{b} \ \ называется\ вектор\ \vec{с} ,\ такой\ что\ \\ \ \vec{с} \perp \vec{a} ,\ \ \vec{с} \perp \vec{b}\\ |\vec{с} |=|\vec{a} |\cdot |\vec{b} |\cdot \cos \varphi \\ Вектор\ \vec{с} \ направлен\ в\ сторону\ движения\ винта\ при\ вращении\\ вектора\ \vec{a} \ \ к\ вектору\ \vec{b} .\ \ \end{array}\)

Геометрическое применение

\(\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} Площадь\ параллелограмма,\ построенного\ на\ векторах\ \vec{a} \ и\ \vec{b} :\ S=|\vec{a} \ \times \vec{b} |.\\ Площадь\ треугольника,\ построенного\ на\ векторах\ \vec{a} \ и\ \vec{b} :\ S=\dfrac{1}{2} |\vec{a} \ \times \vec{b} |. \end{array}\)

Алгебраические свойства

\(\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} \vec{a} \ \times \vec{b} =-\vec{b} \times \vec{a}\\ \left(\vec{k}\vec{a}\right) \times \vec{b} =\vec{k}\left(\vec{a} \ \times \vec{b}\right)\\ \vec{a} \ \times \vec{a} \ =0 \end{array}\)

Вычисление в декартовых координатах

\(\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} \vec{i} \times \vec{i} =0;\ \vec{j} \times \vec{j} =0;\ \vec{k} \times \vec{k} =0\\ \vec{i} \times \vec{j} =\vec{k} ;\ \vec{k} \times \vec{i} =\vec{j} ;\ \vec{j} \times \vec{k} =\vec{i}\\ \vec{a} \ =x_{1} \cdot \vec{i} +y_{1} \cdot \vec{j} +z_{1} \cdot \vec{k}\\ \vec{b} =x_{2} \cdot \vec{i} +y_{2} \cdot \vec{j} +z_{2} \cdot \vec{k}\\ \vec{a} \ \times \vec{b} =\left( x_{1} \cdot \vec{i} +y_{1} \cdot \vec{j} +z_{1} \cdot \vec{k}\right) \times \left( x_{2} \cdot \vec{i} +y_{2} \cdot \vec{j} +z_{2} \cdot \vec{k}\right) =x_{1} x_{2}\left(\vec{i} \times \vec{i}\right) +x_{1} y_{2}\left(\vec{i} \times \vec{j}\right) +\\ +x_{2} z_{2}\left(\vec{i} \times \vec{k}\right) +y_{1} x_{2}\left(\vec{j} \times \vec{i}\right) +y_{1} y_{2}\left(\vec{j} \times \vec{j}\right) +y_{1} z_{2}\left(\vec{j} \times \vec{k}\right) +z_{1} x_{2}\left(\vec{k} \times \vec{i}\right) +z_{1} y_{2}\left(\vec{k} \times \vec{j}\right) +\\ +z_{1} z_{2}\left(\vec{k} \times \vec{k}\right) =x_{1} y_{2}\vec{k} -x_{1} z_{2}\vec{j} -y_{1} x_{2}\vec{k} +y_{1} z_{2}\vec{i} +z_{1} x_{2}\vec{j} -z_{1} y_{2}\vec{i} =( y_{1} z_{2} -z_{1} y_{2})\vec{i} +\\ +\ \left( -( x_{1} z_{2} -z_{1} x_{2})\vec{j}\right) +( x_{1} y_{2} -y_{1} x_{2})\vec{k} =( -1)^{1+1}\begin{vmatrix} y_{1} & z_{1}\\ y_{2} & z_{2} \end{vmatrix}\vec{i} +( -1)^{1+2}\begin{vmatrix} x_{1} & z_{1}\\ x_{2} & z_{2} \end{vmatrix}\vec{j} +\\ +( -1)^{1+3}\begin{vmatrix} x_{1} & y_{1}\\ x_{2} & y_{2} \end{vmatrix}\vec{k} =\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & k\vec{}\\ x_{1} & y_{1} & z_{1}\\ x_{2} & y_{2} & z_{2} \end{vmatrix}\\ \vec{a} \ \times \vec{b} =\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & k\vec{}\\ x_{1} & y_{1} & z_{1}\\ x_{2} & y_{2} & z_{2} \end{vmatrix}\\ \boldsymbol{Замечание} :\ Двойное\ векторное\ произведение:\\ \vec{a} \ \times \left(\vec{b} \times \vec{c}\right) =\vec{b} \cdot \left(\vec{a} \cdot \vec{c}\right) -\vec{c} \cdot \left(\vec{a} \cdot \vec{b}\right)\\ Геометрический\ смысл:\ В\ результате\ получается\ вектор,\ который\ находится\ в\ \\ плоскости\ векторов\ \vec{b} \ и\ \vec{c} .\\ \vec{b} ,\ \ \vec{c} ,\ \vec{a} \ \times \left(\vec{b} \times \vec{c}\right) \ компланарны. \end{array}\)