Скалярное произведение векторов

Вектор - напрявленный отрезок.

\(​​\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} \overrightarrow{AB} =\vec{a}\\ Координаты\ вектора:\vec{a} \ =\{a_{x} ;a_{y} ;a_{z}\}\\ \overrightarrow{AB} =\{x_{B} -x_{A} ;y_{A} -y_{B} ;z_{A} -z_{B}\}\\ \vec{a} =a_{x} \cdot \vec{i} +a_{y} \cdot \vec{j} +a_{z} \cdot \vec{k}\\ Длина\ вектора:\ \\ |\vec{a} |=a^{2}_{x} +a^{2}_{y} +a^{2}_{z}\\ Векторы\ \vec{a} \ и\ \vec{b} \ коллинеарны,\ если\ они\ лежат\ на\ одной\ или\ параллельных\ прямых.\\ Условие\ компланарности:\\ Пусть\ \\ \vec{a} \ =\{a_{x} ;a_{y} ;a_{z}\}\\ \vec{b} \ =\{b_{x} ;b_{y} ;b_{z}\}\\ \vec{a} \ \parallel \vec{b} \ \ \Leftrightarrow \dfrac{a_{x}}{b_{x}} =\dfrac{a_{y}}{b_{y}} =\dfrac{a_{z}}{b_{z}}\\ Векторы\ \vec{a} \ ,\vec{b} \ ,\vec{с} \ компланарны,\ если\ они\ лежат\ в\ одной\ плоскости.\\ Условие\ компланарности:\\ Пусть\ \\ \vec{a} \ =\{a_{x} ;a_{y} ;a_{z}\}\\ \vec{b} \ =\{b_{x} ;b_{y} ;b_{z}\}\\ \vec{с} \ =\{с_{x} ;с_{y} ;с_{z}\}\\ \begin{vmatrix} a_{x} & a_{y} & a_{z}\\ b_{x} & b_{y} & b_{z}\\ с_{x} & с_{y} & с_{z} \end{vmatrix} =0\\ \boldsymbol{Опр.} \ Скалярным\ произведением\ векторов\ \vec{a} \ и\ \vec{b} \ называется\ число\ ( скаляр) \ равное\ \\ произведению\ длин\ этих\ векторов\ на\ косинус\ угла\ между\ ними.\\ \ \ \vec{a} \ \cdot \vec{b} =|\vec{a} \ |\cdot |\vec{b} |\cos \varphi \end{array}\)

Геометрическое применение

\(\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} Условие\ перпендикулярности\ векторов:\\ \vec{a} \ \bot \vec{b} \Longrightarrow \vec{a} \ \cdot \vec{b} =0\\ Проекция\ вектора\ \vec{a} \ \ на\ вектор\ \vec{b} :\ пр_{\ \vec{b}} \ \vec{a} \ =\dfrac{\vec{a} \ \cdot \vec{b}}{|\vec{a} |} .\\ Проекция\ вектора\ \vec{b} \ \ на\ вектор\ \vec{a} \ :\ пр_{\vec{a}} \ \vec{b} =\dfrac{\vec{a} \ \cdot \vec{b}}{|\vec{b} |} .\\ \cos \varphi =\dfrac{\vec{a} \ \cdot \vec{b}}{|\vec{a} |\cdot |\vec{b} |}\\ \end{array}\)

Вычисление скалярного произведения в декартовых координатах

\(\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} Пусть\\ \vec{a} \ =\{x_{1} ;y_{1} ;z_{1}\}\\ \vec{b} \ =\{x_{2} ;y_{2} ;z_{2}\}\\ \vec{a} \ =x_{1} \cdot \vec{i} +y_{1} \cdot \vec{j} +z_{1} \cdot \vec{k}\\ \vec{b} =x_{2} \cdot \vec{i} +y_{2} \cdot \vec{j} +z_{2} \cdot \vec{k}\\ \vec{a} \cdot \vec{b} =x_{1} x_{2} +y_{1} y_{2} +z_{1} z_{2}\\ Подсказка\ для\ выведения\ формулы:\ \\ \vec{i} \cdot \vec{i} =1;\ \vec{j} \cdot \vec{j} =1;\ \vec{k} \cdot \vec{k} =1\\ \vec{i} \cdot \vec{j} =0;\ \vec{i} \cdot \vec{k} =0;\ \vec{j} \cdot \vec{k} =0 \end{array}\)

Алгебраические свойства

\(\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} \vec{a} \cdot \vec{b} \ =\vec{b} \cdot \vec{a}\\ \ \vec{a}\left(\vec{b} +\vec{с}\right) =\ \vec{a} \cdot \vec{b} \ +\vec{b} \cdot \vec{c}\\ \ \vec{a} \cdot \vec{a} =|\vec{a} |\ ^{2} \end{array}\)