Комплексные числа. Алгебраическая форма записи

Комплексные числа

Алгебраическая форма записи

Рассмотрим уравнения вида:
\(z^{2} =-1\)    \(z_{1,2} =\pm \sqrt{-1} =\pm i\), где i-мнимая единица \( i^{2} =-1 \).
Пример
\(z^{2} +4z+5=0\\
D=-4\\
z_{1,2} =\frac{-4\pm \sqrt{-4}}{2} =\frac{-4\pm 2i}{2} =-2\pm i\) Определение. Число вида \(z=a+bi\) имеет алгебраическую форму записи.
a - вещественная часть (ReZ),
b - мнимая часть (ImZ).

Комплексная плоскость

Определение. Числа \(z=a+bi\) и \(\overline{z} =a-bi\) называются комплексно сопряженными.

Свойство. \(z\cdot \overline{z} =( a+bi)( a-bi) =a^{2} -b^{2} i^{2} =a^{2} +b^{2}\)

Пример

\(z^{2} +6z+13=0\\D=6^{2} -4\cdot 13=-16\\z_{1,2} =\frac{-6\pm \sqrt{-16}}{2} =\frac{-6\pm 4i}{2} =-3\pm 2i\)

Действия над комплексными числами в алгебраической форме

Пусть дано 2 числа:

\(z_{1} =a+bi\\ z_{2} =c+di\)

Сложение

\(z_{1} +z_{2} \ =a+\ c+( b+d) i\)
Вычитание
\(z_{1} -z_{2} \ =a-\ c+( b-d) i\)

Умножение

\(z_{1} \cdot z_{2} =( a+bi) \cdot ( c+di) =ac+adi+bci+bdi^{2} =ac+adi+bci-bd=ac-bd+( ad+bc) i\)
Деление
\(\frac{z_{1}}{z_{2}} =\frac{a+bi}{c+di} =\frac{( a+bi)( c-di)}{( c+di)( c-di)} =\frac{ac-adi+bci-bdi^{2}}{c^{2} -d^{2} i^{2}} =\frac{ac-adi+bci+bd}{c^{2} +d^{2}} =\frac{( ac+bd) +( bc-ad) i}{c^{2} +d^{2}}\)
Пример.
Дано:

\(z_{1} =5+6i\\ z_{2} =3+2i\\ z_{1} +z_{2} \ =8+8i\\ \ z_{1} -z_{2} \ =2+4i\\ z_{1} \cdot z_{2} =( 5+6i) \cdot ( 3+2i) =15+10i+18i+12i^{2} =15-12+28i=3+28i\\ \frac{z_{1}}{z_{2}} =\frac{5+6i}{3+2i} =\frac{( 5+6i)( 3-2i)}{( 3+2i)( 3-2i)} =\frac{15-10i+18i-12i^{2}}{9-4i^{2}} =\frac{27+8i}{13} =\frac{27}{13} +\frac{8}{13} i\)