Комплексные числа в тригонометрической форме. Действия над числами.

$\displaystyle  \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
z_{1} =r_{1}(\cos \varphi _{1} +i\cdot \sin \varphi _{1})\\
z_{1} =r_{2}(\cos \varphi _{2} +i\cdot \sin \varphi _{2})
\end{array}$

Умножение

$\displaystyle  \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
z_{1} z_{2} =r_{1} r_{2}(\cos \varphi _{1} +i\cdot \sin \varphi _{1})(\cos \varphi _{2} +i\cdot \sin \varphi _{2}) =\\
=r_{1} r_{2}(\cos \varphi _{1}\cos \varphi _{2} +i\sin \varphi _{1}\cos \varphi _{2} +i\cos \varphi _{1}\sin \varphi _{2} +i^{2}\sin \varphi _{1}\sin \varphi _{2} =\\
=r_{1} r_{2}(\cos \varphi _{1}\cos \varphi _{2} -\sin \varphi _{1}\sin \varphi _{2} +i(\sin \varphi _{1}\cos \varphi _{2} +\cos \varphi _{1}\sin \varphi _{2})) =\\
=r_{1} r_{2}(\cos( \varphi _{1} +\varphi _{2}) +i\sin( \varphi _{1} +\varphi _{2}))
\end{array}$

Деление

$\displaystyle z_{1} :z_{2} =\dfrac{z_{1}}{z_{2}}(\cos( \varphi _{1} -\varphi _{2}) +i\sin( \varphi _{1} -\varphi _{2}))$

Пример

Дано: 

$\displaystyle  \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} z_{1} =8\left(\cos\left(\dfrac{\pi }{3}\right) +i\sin\left(\dfrac{\pi }{3}\right)\right)\\ z_{2} =4\left(\cos\left(\dfrac{\pi }{6}\right) +i\sin\left(\dfrac{\pi }{6}\right)\right) \end{array}$

$\displaystyle  \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} z_{1} z_{2} =32\left(\cos\left(\dfrac{\pi }{3} +\dfrac{\pi }{6}\right) +i\sin\left(\dfrac{\pi }{3} +\dfrac{\pi }{6}\right)\right) =32\left(\cos\left(\dfrac{\pi }{2}\right) +i\sin\left(\dfrac{\pi }{2}\right)\right) =32i\\ z_{1} :z_{2} =2\left(\cos\left(\dfrac{\pi }{3} -\dfrac{\pi }{6}\right) +i\sin\left(\dfrac{\pi }{3} -\dfrac{\pi }{6}\right)\right) =2\left(\cos\left(\dfrac{\pi }{6}\right) +i\sin\left(\dfrac{\pi }{6}\right)\right) =\\ =2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} +\dfrac{1}{2} i\right) =\sqrt{3} +i \end{array}$

Формула Муавра возведения в степень

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} Пусть\ z=z(\cos \varphi +i\sin \varphi ) ,\ тогда\ z^{n} =z^{n}(\cos( n\varphi ) +i\sin( n\varphi ))\\ Дано\ z=\sqrt{3} +i.\\ Найти\ z^{25} .\\ Перейдем\ к\ тригонометрической\ записи\\ a=\sqrt{3} \ \ b=1\\ r=\sqrt{a^{2} +b^{2}} =\sqrt{3+1} =2\\ \varphi =\arctan\dfrac{b}{a} =\arctan\dfrac{1}{\sqrt{3}} =\dfrac{\pi }{6}\\ \sqrt{3} +i=2\left(\cos\dfrac{\pi }{6} +i\sin\dfrac{\pi }{6}\right)\\ \left(\sqrt{3} +i\right)^{25} =2^{25}\left(\cos\left( 25\cdot \dfrac{\pi }{6}\right) +i\sin\left( 25\cdot \dfrac{\pi }{6}\right)\right) =\\ =2^{25}\left(\cos\left(\dfrac{( 24+1) \pi }{6}\right) +i\sin\left(\dfrac{( 24+1) \pi }{6}\right)\right) =\\ =2^{25}\left(\cos\left( 4\pi +\dfrac{\pi }{6}\right) +i\sin\left( 4\pi +\dfrac{\pi }{6}\right)\right) =\\ =2^{25}\left(\cos\dfrac{\pi }{6} +i\sin\dfrac{\pi }{6}\right) =2^{25}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} +i\dfrac{1}{2}\right) =2^{24}\left(\sqrt{3} +i\right)\\ \end{array}$

Извлечение корня из комплексного числа

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} z=z(\cos \varphi +i\sin \varphi )\\ \sqrt[n]{z} =\sqrt[n]{z}\left(\cos\dfrac{\varphi +2k\pi }{n} +i\sin\dfrac{\varphi +2k\pi }{n}\right) ,\ где\ k=0,1,2... \end{array}$

Пример

Найти все значения $\displaystyle \sqrt[3]{8}$.

$\displaystyle  \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} r=8,\ \varphi =0\\ 8=8(\cos 0+i\sin 0)\\ \sqrt[3]{8} =\sqrt[3]{8}\left(\cos\dfrac{0+2k\pi }{3} +i\sin\dfrac{0+2k\pi }{3}\right) ,\ где\ k=0,1,2...\ \\ Если\ k=0,\ то\ \sqrt[3]{8} =2(\cos 0+i\sin 0) =2( 1+0) =2.\\ Если\ k=1,\ то\ \sqrt[3]{8} =2\left(\cos\dfrac{2\pi }{3} +i\sin\dfrac{2\pi }{3}\right) =2\left( -\dfrac{1}{2} +i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) =-1+i\sqrt{3}\\ Если\ k=2,\ то\ \sqrt[3]{8} =2\left(\cos\dfrac{4\pi }{3} +i\sin\dfrac{4\pi }{3}\right) =-1-i\sqrt{3}\\ Ответ:\ z_{1} =2,z_{2} =-1+i\sqrt{3} ,\ z_{3} =-1-i\sqrt{3} . \end{array}$

Замечание. Существует n различных значений. $\displaystyle \sqrt[n]{z}$, которые находятся в вершинах правильного n-угольника.