Обратная матрица

Опр. Единичной матрицей называется квадратная матрица, на главной диагонали которой стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю. 

\(\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} E=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\\ E=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{array}\)

Свойства:

\(\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} 1.\ detE=1\\ 2.\ A\cdot E=A \end{array}\)

Опр. Матрица \(A^{-1}\) называется обратной для матрицы \(A\), если их произведение равно единичной матрице.

\(A^{-1} \cdot A=E\)

Утверждение

Обратная матрица имеет следующие элементы:

\(\displaystyle A^{-1} =\begin{pmatrix} \frac{A_{11}}{\Delta } & \frac{A_{21}}{\Delta } & ...\ & \frac{A_{n1}}{\Delta }\\ \frac{A_{12}}{\Delta } & \frac{A_{22}}{\Delta } & ...\ & \frac{A_{n1}}{\Delta }\\ ...\ & ...\ & ...\ & ...\ \\ \frac{A_{1n}}{\Delta } & \frac{A_{2n}}{\Delta } & ...\ & \frac{A_{nn}}{\Delta } \end{pmatrix}\)

Лемма: Сумма произведений элементов строки или столбца на алгебраические дополнения элементов другой строки или столбца равна 0.

Основные:

Проверим, что \(\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} A^{-1} \cdot A=\frac{1}{\Delta }\begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & ...\ & A_{n1}\\ A_{12} & A_{22} & ...\ & A_{n2}\\ ...\ & ...\ & ...\ & ...\ \\ A_{1n} & A_{2n} & ...\ & A_{nn} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & ...\ & A_{1n}\\ A_{12} & A_{22} & ...\ & A_{2n}\\ ...\ & ...\ & ...\ & ...\ \\ A_{n1} & A_{n2} & ...\ & A_{nn} \end{pmatrix} =\frac{1}{\Delta } \cdot C\\ C=( C_{ij})_{\begin{array}{ c } i=1...n\\ j=1...\ n \end{array}}\begin{vmatrix} C_{11} =a_{11} A_{11} +a_{21} A_{21} +...+a_{n1} A_{n1} =\Delta \\ C_{12} =a_{12} A_{11} +a_{22} A_{21} +...+a_{n2} A_{n1} =0\\ ...\\ ...\ \end{vmatrix} =\\ =\begin{pmatrix} \Delta & 0 & 0\\ 0 & \Delta & 0\\ 0 & 0 & \Delta \end{pmatrix} \end{array}\)

Пример

Дано: \(\displaystyle A=\begin{pmatrix} 5 & 2\\ 6 & 3 \end{pmatrix} ,\ A^{-1} -?\).

Решение

\(\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} A^{-1} =\frac{1}{\Delta }\left( A^{*}\right)^{T} ,\ где\ A^{-1} -союзная\ матрица\ ( состоит\ из\ алгебраических\ дополнений\\ \ элементов\ данной\ матрицы) .\\ \Delta =detA=\begin{vmatrix} 5 & 2\\ 6 & 3 \end{vmatrix} =3\\ Составим\ союзную\ матрицу:\\ A^{*} =\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12}\\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 3 & -6\\ -2 & 5 \end{pmatrix}\\ A_{11} =( -1)^{1+1} \cdot 3=3\\ A_{21} =( -1)^{1+2} \cdot 6=-6\\ A_{21} =( -1)^{2+1} \cdot 2=-2\\ A_{22} =( -1)^{2+2} \cdot 5=5\\ \left( A^{*}\right)^{T} =\begin{pmatrix} 3 & -2\\ -6 & 5 \end{pmatrix}\\ Выпишем\ обратную\ матрицу:\\ A^{-1} =\frac{1}{\Delta }\left( A^{*}\right)^{T} =\frac{1}{3}\begin{pmatrix} 3 & -2\\ -6 & 5 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & -\frac{2}{3}\\ -2 & \frac{5}{3} \end{pmatrix}\\ A\cdot A^{-1} =\begin{pmatrix} 5 & 2\\ 6 & 3 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 3 & -2\\ -6 & 5 \end{pmatrix} =\frac{1}{3}\begin{pmatrix} 3 & 0\\ 0 & 3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} =E \end{array}\)

Разбор решения матричного уравнения 

Решить матричное уравнение:

\(\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} A=\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix}\\ B=\begin{pmatrix} 3 & 5\\ 5 & 9 \end{pmatrix}\\ A\cdot X=B\\ A^{-1} \cdot A\cdot X=A^{-1} \cdot B\\ E\cdot X=A^{-1} \cdot B\\ X=A^{-1} \cdot B\\ \Delta =\begin{vmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{vmatrix} =4-6=-2\\ A^{*} =\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12}\\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 4 & -3\\ -2 & 1 \end{pmatrix}\\ \left( A^{*}\right)^{T} =\begin{pmatrix} 4 & -2\\ -3 & 1 \end{pmatrix}\\ A^{-1} =\frac{1}{\Delta }\left( A^{*}\right)^{T} =-\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 4 & -2\\ -3 & 1 \end{pmatrix} =\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} -4 & 2\\ 3 & -1 \end{pmatrix}\\ A\cdot A^{-1} =\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} -4 & 2\\ 3 & -1 \end{pmatrix} =\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} =E\\ X=A^{-1} \cdot B=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} -4 & 2\\ 3 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 5\\ 5 & 9 \end{pmatrix} =\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} -2 & -2\\ 4 & 6 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -1 & -1\\ 2 & 3 \end{pmatrix} \end{array}\)